24.11.2021 група № 4 алгебра
Тема уроку: Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного арнументу
1. Передивіться відео урок за посиланням
https://www.youtube.com/watch?v=C0SejE_S4AA
2. Законспектуйте в зошиті
1. Співвідношення між синусом і косинусом.
Нехай точка Ρα(х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р0(1; 0) на кут α радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos α, у = sin α (рис. 100)
Оскільки точка Рα(х;у) належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х2 + у2 = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos α і sin α, отримаємо:
(cos α)2 + (sin α)2 = 1 або (враховуючи, що (cos α)2 = cos2 α, (sin α)2 = sin2 α)) cos2 α + sin2 α = 1.
Таким чином, sin2 α + cos2 α = 1 для всіх значень α. Ця рівність називається основною тригонометричною тотожністю
З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin α через cos α і навпаки.
, 
.
Виконайте вправи
1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:
a) cosα = 
і sinα = ;
б) sinα = - і cosα = -
;
в) sinα = і cosα = - .
при одному і тому самому значенні α?
Відповідь: а) ні; б) так; в) так.
2. Знайдіть cos α, якщо sin α = 0,6 і 
< α < π.
Відповідь: cos α = -0,8.
3. Знайдіть sin α, якщо cos α = 
і 
< α < 2π.
Відповідь: sin α = -
.
4. Спростіть вирази:
а) 1 + sin2 α + cos2 α;
б) 1 – sin2 α – cos2 α;
в) 2sin2 α + cos2 α – 1;
г) (1 – cos α)(1 + cos α);
д) 
;
є) sin4 α – cos4 α + 1.
Відповідь: а) 2; 6) 0; в) sin2 α; г) sin2 α; д) tg2α; є) 2sin2α.
5. Доведіть тотожності:
а) (1 – cos 2α)(1 + cos 2α) = sin2 2α;
б) cos4 α – sin4 α = cos2 α – sin2 α;
в) (sin2 α – cos2 α)2 + 2cos2α sin2α = sin4 α + cos4 α;
г) 2cos2α sin2α + cos4α + sin4α = 1;
д) sin6 α + cos6 α = 1 – 3sin2α cos2α;
є) 
.
6. Знайдіть cos α, якщо cos4 α – sin4 α = 
.
Відповідь: cosα = ±
.
2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом. Згідно з визначенням тангенса і котангенса, 
, 
.
Перемноживши ці рівності, одержимо 
Отже, tgα · ctgα = 1 для всіх значень α, крім α = 
, k, k
Ζ. із одержаної рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки: 
; 
.
Виконайте вправи
1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:
a) tg α = 
і ctgα = 
;
б) tgα = і ctgα = 
;
в) tg α = - і ctg α = 2
при одному і тому самому значенні α?
Відповідь: а) так; б) ні; в) ні.
2. Знайдіть
а) tg α, якщо ctg α = 
;
б) ctg α, якщо tg α = -1;
в) tg α, якщо ctg α = 0.
Відповідь: а) 
; б) -1; в) не існує.
3. Дано: х = 2tg α, у = ctg α. Знайдіть ху.
Відповідь: ху = 
.
4. Дано tg α + сtg α = 2. Знайдіть tg 2 α + сtg2 α.
Відповідь: 2.
5. Спростіть:
а) tg α · сtg α – 1;
б) sin2 α – tg α · сtg α;
в) tg 1° · tg 3° · tg 5° · ... · tg 89°.
Відповідь: а) 0; б) – соs α; в) 1.
6. Доведіть тотожності:
а) (tg α + сtg α)2 - (tg α - сtg α)2 = 4;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
є) 4 + (сtg α - tg α)2 = (сtg α + tg α)2.
3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і синусом.
Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 α + соs2 α = 1 на соs2α, вважаючи, що соs2α ≠ 0, одержимо:
; 
,
звідси: 
, де 
.
Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 α + соs2 α = 1 на sіn2 α, вважаючи, що sіn α ≠ 0, одержимо
; 
,
звідси: 
, де 
.
Виконайте вправи
1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності.
а) tg α = і соs α = 
;
б) сtg α = 1 і sіn α = 
;
в) tg α = 
і sіn α = 
при одному і тому ж значенні α?
Відповідь: а) ні; б) так; в) ні.
2. Відомо, що tg α = 2 і 
. Знайдіть sіn α, соs α і сtg α.
Відповідь: sіn α = 
; соs α = 
; сtg α = .
3. Відомо, що sіn α = і 0 < α < . Знайдіть соs α, tg α, сtg α.
Відповідь: соs α = 
; tg α = ; сtg α = 
.
4. Відомо, що сtg α = -3 і α — кут IV чверті. Знайдіть sіn α, соs α, tg α.
Відповідь: sіn α = 
; соs α = 
; tg α = 
.
5. Відомо, що соs α = 
і α — кут І чверті. Знайдіть sіn α, tg α, сtg α.
Відповідь: sіn α = 
; tg α = 
; сtg α = 
.
6. Спростіть вираз:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
є) 
.
Відповідь: а) 1; б) 0; в) 0; г) 0; д) 
; є) tg α.
7. Доведіть тотожності:
а) 
;
б) (1 – сtg α)2 + (1 + сtg α)2 = 
;
в) 
;
г) 
.
Немає коментарів:
Дописати коментар