математика МПТУ

08.11.2021 МАТЕМАТИКА В ГРУПАХ 4 і 7,

6 і 7 факультатив ( плани уроків для кожної групи нижче)

________________________________________________________

08.11.2021 група №4 геометрія

Тема уроку: Перпендикулярність прямих у просторі

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=IZ_cbOsL6wY

2. Законспектуйте в зошиті

Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили про перпендикулярність прямих. Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом.

У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпендикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин. На наступних уроках ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень. Почнемо з випадку перпендикулярності прямих у просторі.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Теорема:

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

3. Розв'язати задачі

1) Пряма проходить через точку кола перпендикулярно до його радіуса, проведеного до цієї точки. Чи можна зробити висновок, що пряма є дотичною до кола?

2) Задано пряму а і точку M. Скільки існує прямих, що проходять через точку M, перетинають a і перпендикулярні до неї? Скільки випадків слід розглянути?

3) Через точку O перетину діагоналей куба ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено площину а паралельно основі куба ABCD. Площина а перетинає ребра BB₁ і CC₁ у точках M і K відповідно. Доведіть, що прямі OM і OK перпендикулярні.

4) У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ через довільну точку M ребра AA₁ проведено площину а паралельно основі куба ABCD, що перетинає ребра BB₁, CC₁ і DD₁ у точках N, P і Q відповідно. Доведіть, що прямі MP і NQ перпендикулярні.

4. Проаналізувати розв'язання

1. SABC — тетраедр; <ABC = 90°; точки К, L, М — середини ребер SB, SA, SC відповідно (рис. 132). Знайти <MKL.

2. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 133). Точки М, N, Р, К — точки перетину діагоналей граней АВВ₁А₁, CDD₁C₁, А₁B₁С₁D₁ і ABCD відповідно. Довести, що MN перпендикулярний РК .

3. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку М, що належить ребру АА₁ в грані AA₁DD₁, проведіть пряму MN так, щоб <MOD₁ = 90° , де точка О — точка перетину прямих MN і AD₁.

Розв'язання

Проведемо в квадраті A₁ADD₁ діагоналі AD₁ і A₁D (AD_{1перпендикулярний}A₁D) (рис. 134). Через точку М ребра АА₁ в грані АDD₁А₁ проведемо пряму MN || А₁D . За теоремою 3.1 MN перпендикулярний AD₁, оскільки <A₁OD₁ = 90° .

4. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку О грані А₁АDD₁ проведіть прямі ОМ і ON так, щоб ОМ || ВС , ON || СС₁. Доведіть, що <MON = 90° .

5. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA₁B₁C₁D₁ проведіть площину α, паралельну основі А₁B₁С₁D₁ куба. Доведіть, що <MON = 90°, де точки М, N — точки перетину ребер СС₁ і BВ₁ з площиною α.

__________________________________________________________________________________

08.11.2021 група №7 алгебра

Тема уроку: Розв'язування задач. Самостійна робота.

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=OnfgaHQUVLE

2. Розв'язати задачі в зошиті

варіант 1

Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася на перекладині. Результати підтягування були такі: 12, 14, 9, 10, 10, 12, 11, 8, 9, 7, 10, 10, 13, 15, 10, 9, 14, 10, 11,13. Знайти моду, медіану, середнє значення та побудувати полігон.
У класі 10 дівчат та 7 хлопців. Скількома способами можна вибрати пару (хлопчика та дівчинку) для танців?
Скільки парних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, якщо: а) цифри можуть повторюватись; б) цифри не можуть повторюватись.
У коробці лежать 4 сині кулі та кілька червоних. Скільки червоних куль у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана навмання куля виявиться синьою, дорівнює ?
У коробці було 23 картки, пронумерованих від 1 до 23. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записано число:

1) 11;

2) кратне 6;

3) одноцифрове;

4) у записі якого є цифра 7;

5) у записі якого відсутня цифра 4.

варіант 2

Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася на перекладині. Результати підтягування були такі: 11, 12, 8, 11, 17, 21, 13, 14, 14, 6, 5, 5, 13, 15, 10, 9, 11, 10, 11,5. Знайти моду, медіану, середнє значення та побудувати полігон.
Кафе пропонує меню з 3 перших страв, 6 других страв та 5 третіх страв. Скількома способами можна вибрати обід з трьох страв?
Скільки непарних трицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо: а) цифри можуть повторюватись; б) цифри не можуть повторюватись.
У коробці лежать 8 синіх кульок та кілька червоних. Скільки червоних куль у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана навмання куля виявиться синьою, дорівнює ?
У коробці було 23 картки, пронумерованих від 1 до 23. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записано число:

1) 24;

2) кратне 5;

3) складене;

4) у записі якого є цифра 2;

5) сума цифр якого ділиться націло на 3.

_________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

08.11.2021 група №6 факультатив

Тема уроку: Раціональні рівняння і нерівності

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=f13TbCBVgBg

2. Повторіть та проаналізуйте розв'язки

Рівняння зі змінною в знаменнику

Рівняння = 0 є рівносильним системі рівнянь

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння = 0.

Розв’язання

= 0;

Отже, х = -3.

Відповідь: -3.

Раціональні рівняння

Рівняння f(х) = g (х) називається раціональний, якщо f(х) і g (х) — раціональні вирази.

Щоб розв’язати раціональне рівняння, потрібно:

1) знайти спільний знаменник усіх дробів, що входять до рівняння:

2) замінити дане рівняння цілим, помноживши обидві його частини на спільний знаменник:

3) розв'язати одержане ціле рівняння:

4) виключити з коренів цілого рівняння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 1 + - = .

Рoзв'язання

1 + - = ; 1 ∙ (x²-1) + ∙ - ∙ = ∙ ;

Отже, х = 2.

Відповідь: 2.

Дробові нерівності

Нерівність > 0 рівносильна двом системам або

Нерівність < 0 рівносильна двом системам або

Нерівність ≥ 0 рівносильна двом системам або

Нерівність ≤ 0 рівносильна двом системам або

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність < 0.

Розв'язання < 0; або тоді або

Звідси х∈(7; +∞) (рис. 1) або х∈(-∞; 2) (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Отже, x∈(-∞; 2)(7; +∞).

Відповідь: (-∞; 2 )( 7; =∞).

________________________________________________________________________________________________________

08.11.2021 група №7 факультатив

Тема уроку: Обчислення інтегралів

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=_1Dr1teT2y8

2. Законспектуйте в зошиті

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Площам криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку (а; b] функції f(х), віссю Ох та прямими х = а, х = b) обчислюється за формулою S = (рис. 1).

Рис. 1

Фізичний зміст визначеного інтеграла

Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює

де v (t) — швидкість руху (рис. 2).

Рис. 2

Площа фігури

Якщо на заданому проміжку [а; b] неперервні функції у = f(х) і у = g (x) мають властивість f(x) ≥ g(x) для всіх х є [а; b], то S = - g(x))dx (рис. 3).

Рис. 3

Обчислення площ

Приклад 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х² і у = -х + 2.

Розв’язання

Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти (див. рис. 8). Для

знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:

x² = -х + 2; x² + х - 2 = 0; х = -2 або х = 1.

Тоді S = — x²)dx = = - - + 2 — ( — 2 - 4) = - + 1,5 + 6 = 7,5 — 3 = 4,5.

Відповідь: 4,5.

Рис. 8

Об’єм тіла обертання

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [а; b] функції y = f(x) та прямими х = а і х = b (рис. 9), дорівнює

V = .