18.11.2021                         група № 9                       геометрія

Тема уроку: Перпендикулярність прямих у просторі

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=IZ_cbOsL6wY

2. Законспектуйте в зошиті

Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили про перпендикулярність прямих. Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом.

У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпе­ндикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпен­дикулярність площин. На наступних уроках ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень. Почнемо з випадку перпендикулярнос­ті прямих у просторі.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перети­наються під прямим кутом.

Теорема:

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

3. Розв'язати задачі

1) Пряма проходить через точку кола перпендикулярно до його радіуса, проведеного до цієї точки. Чи можна зробити висновок, що пряма є дотичною до кола?

2) Задано пряму а і точку M. Скільки існує прямих, що проходять через точку M, перетинають a і перпендикулярні до неї? Скільки випадків слід розглянути?

3) Через точку O перетину діагоналей куба ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено площину а паралельно основі куба ABCD. Площина а перетинає ребра BB₁ і CC₁ у точках M і K відповідно. Доведіть, що прямі OM і OK перпендикулярні.

4) У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ через довільну точку M ребра AA₁ проведено площину а паралельно основі куба ABCD, що перетинає ребра BB₁, CC₁ і DD₁ у точках N, P і Q відповідно. Доведіть, що прямі MP і NQ перпендикулярні.

4. Проаналізувати розв'язання

1. SABC — тетраедр; <ABC = 90°; точки К, L, М — середини ребер SB, SA, SC відповідно (рис. 132). Знайти <MKL.

2. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 133). Точки М, N, Р, К — точки перетину діагоналей граней АВВ₁А₁, CDD₁C₁, А₁B₁С₁D₁ і ABCD відповідно. Довести, що MN перпендикулярний РК .

3. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку М, що належить ребру АА₁ в грані AA₁DD₁, проведіть пряму MN так, щоб <MOD₁ = 90° , де точ­ка О — точка перетину прямих MN і AD₁.

Розв'язання

Проведемо в квадраті A₁ADD₁ діагоналі AD₁ і A₁D (AD_{1перпендикулярний}A₁D) (рис. 134). Через точку М ребра АА₁ в грані АDD₁А₁ проведемо пряму MN || А₁D . За теоремою 3.1 MN   перпендикулярний  AD₁, оскільки <A₁OD₁ = 90° .

4. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку О грані А₁АDD₁ проведіть прямі ОМ і ON так, щоб ОМ || ВС , ON || СС₁. Доведіть, що <MON = 90° .

5. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA₁B₁C₁D₁ проведіть площину α, паралельну основі А₁B₁С₁D₁ куба. Доведіть, що <MON = 90°, де точки М, N — точки перетину ребер СС₁ і BВ₁ з площиною α.