12.04.2021  група №7            математика  (факультативи   12.04,    13.04,      14.04)

Тема уроку: Розв'язування задач з теми 

"Вектори і координати у просторі"

1. Актуалізація опорних знань:

Координати вектора в просторі

Якщо початком вектора є точка А(х_A; у_А; z_A), а кінцем — точка В(х_B; у_B; z_B), то  (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)(рис. 1).

Рис. 1

Довжина вектора в просторі

Якщо є вектор  (_а1; а₂; а₃), то || =  + , де || — модуль вектора, a₁, а₂, а₃ — його координати.

Одиничним називається вектор , у якого || = 1.

Нульовим називається вектор  (або 0), у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

2. Розв'язування задач

Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів  i , якщо А(2; -3; -1), В(-4; -8; 5), С (3; 1; -2).

Розв’язання

 (- 4 - 2; -8 - (- 3); 5 - (- 1)) =  (-6; -5; 6);

 (3-2; 1- (- 3); - 2 - (- 1)) =  (1; 4; - 1).

||=  = ;  =  =  = 3.

Відповідь:  = (-6;-5;6),  = (1;4;-1),  = ;  = 3.

Рівність векторів у просторі

Якщо

(а₁;а₂;а₃) =  (b₁;b₂;b₃), то 

Якщo  то  (a₁; а₂; а₃) =  (b₁;b₂;b₃).

Протилежні вектори в просторі

Якщо маємо  (a₁; a₂; а₃),  (b₁;b₂;b₃) i  = -, то 

Якщо маємо  (а₁;а₂;а₃),  (b₁;b₂;b₃) і  то  = -

Сума векторів

У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO₁), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB₁), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).

Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.

Рис. 2

Сума векторів у просторі

 (а₁; а_2;a₃) +  (b₁; b₂; b₃) =  (а₁ + b₁; а₂ + b₂; a₃ + b₃).

Різниця векторів у просторі  (а₁; а₂; а₃) -  (b₁; b₂; b₃) =  (а₁ - b₁; а₂- b₂; a₃ - b₃).

Множення вектори на число в просторі

 ∙  (а₁; а₂; а₃) =  (а₁; а₂; а₃).

Задача 2. Задано вектори  (3; -2; -1);  (1; 1; 2);  (-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів  =  + ,  =  - ,  = 2 + 3 - .

Розв’язання

 =  +  =  = ;  =  =  =  = ;

 = 2 + 3 -  = 2 ∙  + 3 -  =

 = .

Відповідь:  = ;  = ;  = 

Колінеарність векторів у просторі

Якщо є вектори  (а₁; a₂; а₃),  (b₁, b₂; b₃) і вони колінеарні, то  =  = 

Якщо є вектори  (а₁; а₂; а₃),  (b₁; b₂; b₃) і  =  = , то  і  — колінеарні вектори.

Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори  (3; m; 5) і  (- 6; - 2; n) колінеарні.

Розв’язання  У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси  =  = .

Маємо два рівняння:

1)  = , тоді m =  = 1;

2)  = , тоді n =  = -10.

Відповідь: m = 1, n = -10.

Скалярний добуток двох векторів у просторі

Якщо є вектори  (a₁; а₂; a₃),  (b₁; b₂; b₃), то  ∙  = a₁b₁+ a₂b₂ + a₃b₃.

Теорема

Скалярний добуток двох векторів  і  дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).

Отже,  ∙  = || ∙ || ∙ cos.

Задача 4. Знайдіть кут між векторами  (1; 2; - 3) і  (2; -1; - 4).

Розв'язання

Скористаємося формулою cos =  =  ∙  = 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.

||= , ||=  = ,

тоді cos =  =  =  = .

Звідси  = arcos .

Відповідь: arcos .

Рис. 3

Ознака перпендикулярності векторів

Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Задача 5. При якому значенні р вектори

(3; р: -1) і  (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

 ∙  = 3 ∙ p + p ∙ (-2) + (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5,  ∙  = 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.

Відповідь: р = 5.

Рис. 4

Розглянемо розв’язання деяких задач.

Задача 6. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

Розв’язання

Оскільки  (- 6; 14; 2),  (- 2; - 6; 0), то  =  + ,  (- 8; 8; 2) (див. рисунок).

Рис. 5

Тоді || =  =  = 2.

Відповідь: 2.

Задача 7. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABC, якщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).

Розв’язання

Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту  між векторами  та  (див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° - . Знайдемо координати точки М:

M (; ; ) = M(0; -1; 1).

Тоді  (-4; 0; -3),  (-3; -4; 0);

cos =  =  == .

 = arcos  - гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arcos 

Відповідь: arcos .

Рис. 6

Задача 8. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах  (3; 0; -4) і  (0; 5; 0).

Розв’язання

Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах  і  (див. рисунок).

Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: 5 = || ∙ || sin (див. рисунок).

|| =  = 5; || =  = 5; cos =  =  = 0.

Оскільки cos  = 0, то  = 90°. Тоді sin  = 1 і S = 5 ∙ 5 ∙ 1 = 25.

3. Перегляньте відео за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=uqhLi0IDVQw

4. Розв'язати самостійно у зошитах     №851 - №870 підручника ст 264.

______________________________________________________

13.04.2021      7 група  (факультатив)

Тема уроку: Властивості показникової функції. Побудова графіків.

1. Актуалізація опорних знань.

У практиці часто використовуються функції y=2x,y=10x,y=(12)x,y=(0,1)x і т. д., тобто функція вигляду y=ax, де a - задане число, x - змінна. Такі функції називають показниковими. Ця назва пояснюється тим, що аргументом показникової функції є показник степеня, а основою степеня - задане число.

 

Функція, задана формулою y=ax (де a>0,a≠1), називається показниковою функцією з основою a.

  

Сформулюємо основні властивості показникової функції.

1. Область визначення — множина R дійсних чисел.

2. Область значень — множина R+ всіх додатних дійсних чисел.

3. При a>1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0<a<1 функція спадає на множині R.

ax1<ax2, якщо x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, якщо x1<x2,(0<a<1)

4. При будь-яких дійсних значеннях x і y справедливі рівності  

axay=ax+y

  Графіки показникових функцій зображені на малюнках:

1) для випадку a>1

 

 

 

2) для випадку 0<a<1 

 

 

Побудуємо графіки функцій y=2x і y=(12)x, використавши розглянуті властивості і знайшовши кілька точок, що належать графіку.

Приклад:

Відзначимо, що графік функції y=2x проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

Якщо x<0 і спадає, тоді графік швидко наближається до осі Ox (але не перетинає її);

якщо x>0 і зростає, тоді графік швидко піднімається вгору.

Такий вигляд має графік будь-якої функції y=ax, якщо a>1

 

Приклад:

Графік функції y=(12)x також проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

 

Якщо x>0 і зростає, тоді графік швидко наближається до осі Ox (не перетинаючи її);

якщо x<0 і спадає, тоді графік швидко піднімається вгору.

Такий же вигляд має графік будь-якої функції y=ax, якщо 0<a<12.  Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=c4sTdf9ltRs

3. Виконати тести

Запитання 1

Яка з функцій є показниковою?

варіанти відповідей

 

у = 5х

 

 

у = 0,4х

 

 

у = х6

 

 

у = (- 3)х

 

 

у = - 3х

 

 

у = (5/8)-3х

Запитання 2

Які із заданих функцій зростають?

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 3

На якому з рисунків зображено графік показникової функції?

варіанти відповідей

 

 

 

 

 

 

 

Запитання 4

Графік якої функції задано на рисунку?

варіанти відповідей

 

у = 0,5х - 2

 

 

у = -(0,5х + 1)

 

 

у = -2х + 3

 

 

у = - (2х - 1)

Запитання 5

Виберіть всі нерівності, в яких m > n

варіанти відповідей

 

3,5m < 3,5n

 

 

0,9m > 0,9n

 

 

(6/7)m < (6/7)n

 

 

(√3 - 1)m > (√3 - 1)n

 

 

2m > 2n

 

 

(4/3)m < (4/3)n

Запитання 6

Виберіть нерівності, для яких виконується умова: 0 < а < 1

варіанти відповідей

 

a100 < a99

 

 

а√20 > а4

 

 

а-3 < а-5

 

 

а-0,5 > а-0,8

_________________________________________________________________________________________________________________

14.04.2021          7 група  (факультатив)

Тема уроку:  Показникові рівняння та нерівності

1. Зразки розв'язування показникових рівнянь та нерівностей:

https://www.youtube.com/watch?v=4-hQ3xToGyA

2. Розв'язати самостійно:

Обчислити:(1 2/3)²

варіанти відповідей

 

25/9

 

 

9/25

 

 

36/9

 

 

9/36

Запитання 2

Запишіть у вигляді степеня з раціональним показником: ∜7³

варіанти відповідей

 

7¾

 

 

7⁴/3

 

 

(3/4)⁷

 

 

(4/3)⁷

Запитання 3

Обчислити: (х¹ ⅓)¼

варіанти відповідей

 

х¹/12

 

 

х ¹ ¹/12

 

 

х⅓

 

 

х³

Запитання 4

Яка з функцій є показникова?

варіанти відповідей

 

у=6х

 

 

у=6/х

 

 

у=6χ

 

 

у=1/6х

Запитання 5

Порівняйте показники стереня m i n , якщо 4,3m <4,3n

варіанти відповідей

 

<

 

 

>

 

 

=

 

 

неможливо визначити

Запитання 6

З даних функцій назвати зростаючу:

варіанти відповідей

 

f(x)=( ¹/₅ )χ

 

 

f(x)= 1,4χ

 

 

f(x)= 0,2χ

 

 

f(x)=( ³/π)χ

Запитання 7

Розв'язати рівняння: 27х=81

варіанти відповідей

 

∅

 

 

3∕4

 

 

4∕3

 

 

3

Запитання 8

Розв'язати рівняння: 3 * 9х=1

варіанти відповідей

 

-1

 

 

1/2

 

 

-0,5

 

 

0

Запитання 9

Розв'яжіть рівняння: 62х-7⋅6х+6 = 0

варіанти відповідей

 

0

 

 

0;1

 

 

1

 

 

-1;1

Запитання 10

Розв"язком рівняння: 2х+2 + 2х = 5

варіанти відповідей

 

-1

 

 

0

 

 

1

 

 

2

Запитання 11

Розв"яжіть рівняння: 9^(х2 - х - 6 ) = 1

варіанти відповідей

 

-2;3

 

 

3

 

 

-2

 

 

⊘

Запитання 12

Серед наведених нижче функцій виберіть зростаючу показникову функцію

варіанти відповідей

 

y=xπ

 

 

y=πx

 

 

y=π−x

 

 

y=1/πx

Запитання 13

Дана функція у=3х є

варіанти відповідей

 

зростаюча функція

 

 

спадна функція

 

 

приймає завжди однакове значення

 

 

такої не існує

Запитання 14

Яке з рівнянь не є показниковим?

варіанти відповідей

 

3х = 1

 

 

2х /5 = 10

 

 

х3 = 1

 

 

10 =(0,1)х

Запитання 15

Розв"язком якого з рівнянь є число (-1)?

варіанти відповідей

 

(√3)х = 3

 

 

(0,2)х = 5

 

 

2х = -2

 

 

(3/7)х = 3,7

Запитання 16

Чому дорівнює х, якщо (1/9)х = 27 ?

варіанти відповідей

 

-2/3

 

 

-1,5

 

 

-0,3

 

 

2/3

Запитання 17

Розв'язати рівняння: 3х =2х

варіанти відповідей

 

0

 

 

1

 

 

2

 

 

-1

Запитання 18

Розв'яжіть нерівність: 23-6х >1

варіанти відповідей

 

(1/2;+∞)

 

 

(-∞;1/2)

 

 

(2/3;+∞)

 

 

(-∞;2/3)

Запитання 19

Розв'яжіть нерівність: (1/5)4х>(1/5)12

варіанти відповідей

 

(-∞;-3)

 

 

(3;+∞)

 

 

(-3;+∞)

 

 

(-∞;3)

Запитання 20

Розв'язати нерівність: (2,8) (х2-9х-10) ∕ х≥1

варіанти відповідей

 

(-∞;-1]

 

 

(-∞;-1]∪[10;+∞)

 

 

[10;+∞)

 

 

[-1;10]

Запитання 21

Розв'язати нерівність: 72х+1-8·7х+1<0

варіанти відповідей

 

(-1;0)

 

 

(-∞;-1)∪(0;+∞)

 

 

(1∕7;1)

 

 

(1;7)