07.12.2022   група   №9        алгебра і початки аналізу

Тема уроку:   Логарифмічні нерівності

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=xQhtiAlScx4

2. Законспектуйте і вивчіть

ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ.

По аналогії з рівняннями, нерівності називають логарифмічними, якщо в цю нерівність невідома входить лише під знаком логарифма.

1. Нерівності виду log_a x ≥ b, log_a x > b, log_a x ≤ b, log_a x < b

При розв’язуванні нерівностей виду log_ax ≥ b, log_ax > b, log_ax ≤ b, log_ax < b можна користуватися наступними принципами:

1) якщо а > 1, то при переході до нерівності-неслідну знак нерівності залишимо без змін; якщо 0 < а < 1, то знак нерівності змінюємо на протилежний.

2) якщо в отриманій нерівності-неслідну є гарантія виконання ОДЗ: х > 0, то отриману нерівність нічим не доповнюємо; якщо такої гарантії немає, то доповнюємо дану нерівність умовою х > 0.

Покажемо (у вигляді схеми) як дані принципи використовуються, наприклад, при розв’язуванні нерівності log_a х > b.

log_ax ≥ b a > 0, a ≠ 0, b – будь-яке число

Якщо    0 < а < 1 то  Знак нерівності змінюється на протилежний

0 < x ≤ a^b

      Якщо    а > 1     то   Знак нерівності не змінюється

x ≥ a^b

Аналогічно розв’язуються нерівності, у яких замість х, у нерівність входить f(x).

Приклад. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання.

2.Нерівності виду log_a f(x) ≥ log_a g(x), log_a f(x) > log_a g(x).

Подамо метод розв’язування нерівності log_af(x) ≥ log_ag(x) у вигляді таблиці:

log_af(x) ≥ log_ag(x)

Якщо       0 < а < 1  то    Знак нерівності змінюється на протилежний

     Якщо     а > 1   то   Знак нерівності не змінюється

Нерівність виду log_a f(x) > log_a g(x) розв’язується аналогічно.

Приклад. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Оскільки 0 < 1/3 < 1, то знак нерівності змінюємо на протилежний х – 2 ≤ 2х - 3. Крім того треба врахувати х – 2 > 0 (тоді умова 2х - 3 > 0 буде виконуватися автоматично). Отже, нерівність рівносильна системі:

2) Оскільки 7 > 1, то знак нерівності не змінюємо х² - 2 > х. Крім того треба врахувати х > 0 (умова х² - 2 > 0 виконується автоматично).

Отже, маємо:

Розв’язки першої нерівності: х < -1 і х > 2 (мал. 49 — схема вгорі). Враховуючи х > 0, маємо розв’язки: х > 2.

Отже, розв’язком початкової нерівності є множина: х > 2.

3. Розв'яжіть тест

Запитання 1

Розв'язати нерівність:

log5 (x - 3) < 2

варіанти відповідей

 

( - 3; 28)

 

 

(3; 28)

 

 

(5; 27)

 

 

(- 4; 8)

Запитання 2

Розв'язати нерівність:

log0,5 (2x - 4) > - 1

варіанти відповідей

 

(2; 3)

 

 

(- 2; 5)

 

 

(2; 4)

 

 

(4; 5)

Запитання 3

Розв'язати нерівність:

log0,5 x2 > log0,5 3x

варіанти відповідей

 

(1; 4)

 

 

(2; 5)

 

 

(0; 4)

 

 

(0; 3)

Запитання 4

Розв'язати нерівність:

log4 (x + 1) + log4 x < log4 2

варіанти відповідей

 

(1; 4)

 

 

(1; 2)

 

 

(0; 1)

 

 

(0; 3)

Запитання 5

Розв'язати нерівність:

log2 (x2 + 3х) ≤ 2

варіанти відповідей

 

(- 4; - 3)⋃(0; 1⌉

 

 

⌈- 4; - 3)⋃(0; 1⌉

 

 

(- 4; - 3)⋃(0; 1)

 

 

⌈- 4; - 2)⋃(0; 1⌉

Запитання 6

Розв'язати нерівність:

log0,4 x + log0,4( x - 1) ≥ log0,4 (x + 3)

варіанти відповідей

 

(1; 3⌉

 

 

(0; 4⌉

 

 

(-1; 3⌉

 

 

(-1; 1⌉

Запитання 7

Розв'язати нерівність:

log32 x - 3 log3x > -2

варіанти відповідей

 

(0; 2⌉∪(4; +∞)

 

 

(0; 1)∪(3; +∞)

 

 

(0; 2)∪(4; +∞)

 

 

(0; 3)∪(4; +∞)