14.12.2022   група  №9  алгебра і початки аналізу

Тема уроку:  Узагальнення і систематизація знань з теми "Показникова та логарифмічна функції"

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=tvOfJruH4Xg

2. Повторіть теорію

Показникова функція у = а^х, а > 0, а ≠ 1

Функцію виду у = а^х де а > 0, а ≠ 1, називають показниковою.

Основні властивості

1. Область ви значення — множина всіх дійсних чисел R.

2. Область значень — (0; +∞).

3. Якщо х = 0, то у = 1.

4. Функція не є ні парною, ні непарною.

5. Якщо а > 1, тоді функція у = ах зростає; якщо 0 < а < 1, то функція спадає.

6. При а > 1 і х > 0, а^х > 1; при х < 0, а^х < 1. При 0 < а < 1 а^х < 1, якщо х > 0; а^х > 1 при х < 0.

7. Графік функції у = а^х зображено на рис. 1.

Рис. 1

Показникові рівняння

Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

Наприклад: рівняння 2^х + 3 = 0; 3^х+1 - 3^х - 1 = 0 є показниковими.

Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння ax = b, де а > 0, а ≠ 1.

Оскільки множина значень функції у = а^x — множина додатних чисел, то рівняння а^x = b:

1) має один корінь, якщо b > 0 (рис. 2);

2) не має коренів, якщо b ≤ 0 (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Для того щоб розв’язати рівняння ax = b, де а > 0, а ≠ 1, b > 0, треба b подати у вигляді b = а^c, тоді будемо мати а^x = a^c, звідси х = с.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5^x = 125.

Розв'язання

Оскільки 5^х = 125, а 125 = 5³, то маємо 5^х = 5³, звідси х = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ()^x = 49.

Оскільки 49 = 7² = ()^-2, то ()^x = ()^-2 звідси x = -2.

Відповідь: -2.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 15^x2-5x+6 = 1.

Розв'язання

Оскільки 1 = 15⁰, то 15^х2-5х+6 = 15⁰, x² — 5X + 6 = 0, звідси x₁ = 2, X₂ = 3.

Відповідь: 2; 3.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння 2^х-2 = -2.

Розв'язання

Оскільки 2^х-2 > 0 при всіх знаменнях x, то рівняння коренів не має.

Відповідь: немає коренів.

Розглянемо деякі способи розв’язування показникових рівнянь.

І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння a^f(x) = а^g(х).

Як відомо, показникова функція y = a^x > 0 i а ≠ 1 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності a^f(x) = a^g(x) випливає, що f(х) = g(x).

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2^х ∙ 5^х = 0,1(10^х-1)3.

Розв'язання

2^х∙ 5^х = 0,1(10^х-1)³; 10^х = 10^-1∙ 10^3х-3; 10^х = 10^3х-4; х = 3х - 4; х = 2.

Відповідь: 2.

ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 3^х - 2 ∙ 3^х-2 = 63.

Розв'язання

3^x - 2 ∙ 3^x-2 = 63; 3^х-2 (3² - 2) = 63; 3^х-2∙ 7 = 63; 3^х-2 = 9; x - 2 = 2; x = 4.

Відповідь: 4.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 5^2x-1 — 5^2x + 2^2x + 2^2x+2 = 0.

Розв'язання

2^2x + 2^2x+2 = 5^2x - 5^2x-1; 2^2x (1 +2²) = 5^2x(1 - 5^-1);

2^2x ∙ 5 = 5^2x ∙ ;  = ; ()^2x = ()² : 2x = ; x = 1.

Відповідь: 1.

IІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння 49x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0.

Розв'язання

49^x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0; (7²)^x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0; (7^x)²- 8 ∙ 7^x + 7 = 0.

Нехай 7^х = t, тоді t² - 8t + 7 = 0; t₁ = 7; t₂ = 1.

Отже. 1)7^x = 7; х = 1; 2) 7^x = 1; 7^x = 7⁰; x = 0.

Відповідь: 1; 0.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння 3 ∙ 16^x + 2 ∙ 81^x = 5 ∙ 36^x.

Розв'язання

3 ∙ 4^2x + 2 ∙ 9^2x = 5 ∙ 4^x ∙ 9^x;  +  = ; 3 ∙ ()^2x — 5 ∙ ()^x + 3 = 0.

Заміна ()^x = у, тоді 3у² - 5у + 2 = 0, звідси у, = ; y₂ = 1.

Отже, 1) ()^x = ; ()^2x = ; 2x = 1; x = ;

2) ()^x = 1; x = 0.

Відповідь: 0; .

IV спосіб. Графічний спосіб розв’язування показникових рівнянь.

Приклад 6. Розв’яжіть графічно рівняння ()^x = х +1.

Розв'язання

Побудуємо графіки функцій у = ()^x, у = х + 1 в одній системі координат.

Графіки функцій у = ()^x і у = х + 1 перегинаються в точці, абсциса якої х = 0 (рис. 4).

Відповідь: х = 0.

Рис. 4

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам'ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

Системи показникових рівнянь

При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв'язання

Зробимо заміну 3x = а, 7y = b, тоді матимемо систему:

Розв’яжемо систему рівнянь:
  

Отже,  

Відповідь: (2; 1).

Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв’язання    

 або   або 

Отже,  і  є розв’язками системи.

Відповідь: (1; 2), (2; 1).

Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв’язання

Перемножимо і розділимо рівняння системи, тоді одержимо:

    

Відповідь: (2; 1).

Показникові нерівності

Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей а^x > a^b (а^x ≥ a^b) або а^x < a^b (а^x ≤ а^b). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

Розглянемо приклади.

Приклад 10. Розв’яжіть нерівність 3^x < 27.

Розв’язання

Запишемо дану нерівність у вигляді 3^x < 3³. Оскільки 3 > 1, то функція у = 3^t є зростаючою. Отже, при х < 3 виконується нерівність 3^x < 27.

Відповідь: (-∞; 3).

Приклад 11. Розв’яжіть нерівність ()^x > .

Розв'язання

Запишемо дану нерівність у вигляді ()^x > ; ()^x > .

Оскільки у = ()^x — спадна функція, то х < - .

Відповідь: (-х; - ).

Приклад 12. Розв’яжіть графічно нерівність 2^х ≤ 3 - х.

Розв’язання

Побудуємо графіки функцій у = 2^х і у = 3 - х (рис. 5). Із рисунка видно, що 2^х ≤ 3 - х при x ≤ 1. Отже, розв’язком нерівності 2^х ≤ 3 - х є проміжок (-∞; 1 ]. Відповідь: (-∞; 1].

Рис. 5

Приклад 13. Розв’яжіть нерівність 6^x2+2х > 6³.

Розв’язання

Показникова функція у = 6t зростає, тому дана нерівність рівносильна нерівності х² + 2x > 3. Розв’язуємо нерівність x² + 2X - 3 >0 методом інтервалів (рис. 6).

Маємо X∈ (-∞; -3)(1; +∞).

Відповідь: (-∞; -3)( 1; +∞).

Рис. 6

Приклад 14. Розв’яжіть нерівність 25^x + 25 ∙ 5^x - 1250 > 0.

Розв’язання

Зробимо заміну 5^x = t, тоді дану нерівність запишемо так:

t² + 25t - 1250 >0.

Розв’яжемо одержану нерівність методом інтервалів (рис. 7), тоді

t <-50 або t > 25.

Отже, маємо дві нерівності: 5x < -50 або 5x > 25.

Розв’яжемо їх:

1) 5^x < -50 — розв'язків немає;

2) 5^x > 25; 5^x > 5²; X > 2.

Відповідь: (2; +∞).

Рис. 7

Функцію виду у = log_ax, де а > 0, а ≠ 1, називають логарифмічною. Основні властивості логарифмічної функції

1. Область визначення — (0;+∞).

2. Область значень — множина всіх дійсних чисел R.

3. Якщо х = 1, то у = 0.

4. Функція у = log_ax не є ні парною, ні непарною.

7. Якщо а > 1, функція у = log_a х зростає, а при 0 < а < 1 — спадає.

8. Якщо а > 1 і х > 1, то у = log_a x > 0. Якщо а > 1 і 0 < х < 1,то у = logа х < 0. Якщо 0 < а < 1 і х > 1, то у = log_a х < 0. Якщо 0 < а < 1 і 0 < х < 1, то у = log_a x > 0.

9. Графік функції у = logа х зображено на рис. 2.

Рис. 2

При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція має вигляд у = log_а(f(х)), а > 1, а ≠ 1, то слід вважати f(x) > 0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).

Наприклад: якщо у = lg(x² -5x + 6), то x² - 5X + 6 > 0, тобто D(y) = (-∞; 2)(3; + ∞).

2. Якщо функція має вигляд у = log _f(x) b, b > 0, то слід вважати  (основа логарифма може бути тільки додаток) і відмінною від одиниці).

Наприклад: якщо y = log_x-110, то  тобто D(у) = (1; 2)(2; + ∞).

Логарифмічні рівняння, нерівності та системи

Логарифмічними називаються рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Приклад 3. Логарифмічні рівняння:

lgх = 1 + lg² х, log₂ (х + 3) = 9,  = lg.

Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд log_a х = b, де а > 0 ,а ≠ 1, х > 0. З означення логарифма випливає, що x = a в степені b.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння:

log_a x = log_a b, де а > 0, а 1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b. Дійсно із рівності log_ax = log_a b на підставі означення логарифма і основної логарифмічної тотожності маємо

х = a^logab = b.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння

log_x а = b, де х > 0, х ≠ 1, а > 0.

За означенням логарифма маємо

x^b = а, звідси х = .

В основному, усі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв’язувати, зводяться до розв’язування найпростіших рівнянь.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння log₃ (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2х + 1 = 3², 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log₃ (2 ∙ 4 + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 4.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння log₃ х = log₃ (6 - х²).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає

х = 6 - х²; х² + х - 6 = 0; х₁ = -3; х₂ = 2.

Перевірка:

1) число - 3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log3 (- 3) — не визначений;

2) log₃х = log₃2; log₃(6 - х²) = log₃(6 - 2²) = log₃2.

Відповідь: 2.

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння log_x+1 (2x² + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2x² + 1 = (х + 1)²; 2x² + 1 = х² + 2х + 1; х² - 2х = 0; х₁ = 0; х₂ = 2.

Перевірка:

1) значення x = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма x + 1 не повинна дорівнювати 1;

2) log₂₊₁ (2 ∙ 2² + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 2.

Зазначимо, що в прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не призводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного з одержаних коренів обов’язкова, якщо немає впевненості у рівносильності рівнянь.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння log²₂ х - 3 log₂ х = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ х через у. Дане рівняння набуває вигляду:

у² - 3у = 4; у² - 3у - 4 = 0; у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂x = 4, log₂x = -1; x = 2⁴, x = 2^-1; x = 16, x = .

Перевірка:

1) log²₂16 - 31og₂ 16 = 16 -12 = 4;

2) log²₂ - 3log₂  = 1 + 3 = 4.

Відповідь: 16, .

2. Метод потенціювання.

Приклад 8. Розв’яжіть рівняння log₅ (x - 1) + log₅ (х - 2) = log₅ (х + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅ ((х - 1 )(х - 2)) = log₅ (х + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2;

х² - 2х - х + 2 = х + 2; х² - 4х = 0; х(х - 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1) значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅ (х - 1) і log₅ (х - 2) не мають змісту при х = 0;

2) log₅(х - 1) + log₅(х - 2) = log₅(4 - 1) + log₅(4 - 2) = log₅3 + log₅2 = log₅ (2 ∙ 3) = log₅ 6.

Отже, x = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Метод зведення логарифмів до однієї основи.

Приклад 9. Розв’яжіть рівняння log₃x - 2х = 3.

Розв’язання

log₃x - 2 = 3; log₃x — 2 ∙  = 3; log₃x — 2 ∙  = 3;

log₃x + 2log₃х = 3; 3log₃x = 3; log₃x = 1; х = 3.

Перевірка: log₃ 3 - 23 = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад 10. Розв'яжіть рівняння х^lgx = 100х.

Розв'язання

Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0) і одержимо

lg х^lgx = lg (100х); lg х lg х = lg 100 + lg x; lg² x - lg x - 2 = 0.

Замінимо lg x = у. Рівняння набуває вигляду:

y² - у - 2 = 0; y₁ = 2; y₂ = -1.

Тоді: 1) lgx = 2; x = 10²; x = 100.

2) lgx = -1; x = 10^-1 = 0,1.

Перевірка:

1) x^lgx = 100^lg100 = 100²; 100x = 100 ∙ 100= 100². Отже, x = 100 — корінь;

2) x^lgx =0,1^lg0,1 = 0,1^-1 = 1 = 10; 100x = 100 ∙ 0,1 = 10. Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

5. Графічний метод розв’язування логарифмічних рівнянь.

Приклад 11. Розв’яжіть рівняння lgх = 1 - х графічно.

Розв'язання

В одній і тій самій системі координат побудуємо графіки функції у = lg x і у = 1 - x (рис. 3). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

Рис. 3

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

Системи логарифмічних рівнянь

При розв’язуванні систем логарифмічних рівнянь використовують ті самі способи, що й при розв’язуванні алгебраїчних систем. Розглянемо приклади.

Приклад 12. Розв’яжіть систему рівнянь 

Розв'язання

Додамо і віднімемо почленно рівняння системи, тоді одержимо:   

Відповідь: (10⁶; 10^-1).

Логарифмічні нерівності

Як відомо, логарифмічна функція у = log_ах зростає при а > 1, спадає — при 0 < а < 1. Зі зростання функції у = log_ах у першому випадку і спадання — у другому випливає:

1. При а > 1 нерівність log_ах₂ > log_ах₁ рівносильна системі 

2. При 0 < а < 1 нерівність log_ах₂ > log_AХ₁ рівносильна системі 

Розглянемо приклади.

Приклад 14. Розв’яжіть нерівність log₂х < 3.

Розв'язання

Оскільки 3 = log₂ 2³ = log₂ 8, то запишемо дану нерівність у вигляді log₂х < log₂ 8. Оскільки функція у = log₂х зростаюча при X > 0, то маємо  Отже, 0 < х < 8 (рис. 4).

Відповідь: х ∈ (0; 8).

Рис. 4

Приклад 15. Розв’яжіть нерівність х ≤ -2.

Розв'язання

Запишемо дану нерівність у вигляді  х≤  9. Оскільки функція у = х спадна при х > 0, маємо:  отже, x ≥ 9 (рис.5)

Рис. 5

Відповідь: х ∈ [9; +∞).

Як правило, логарифмічна нерівність зводиться до нерівностей виду log_af(X) > log_a g (X), де а > 0, а ≠ 1.

Якщо а > 1, то нерівність log_af(X) > log_a g (X) рівносильна системі нерівностей 

Якщо 0 < а < 1, то нерівність log_af(X) > log_ag(x) рівносильна системі нерівностей 

Приклад 16. Розв’яжіть нерівність log_0,5 (x² + X) ≥ -1.

Розв'язання

Оскільки -1 = log_0,5 0,5^-1 = log_0,5 2, то log_0,5 (X² + X) ≥ log_0,5 2.

Одержана нерівність рівносильна системі

  

Розв’язком першої нерівності (рис. 6) є (-∞; -1 ) (0; +∞).

Рис. 6

Розв’язком другої нерівності (рис. 7) є [-2; 1].

Рис. 7

Тоді маємо (рис. 8) х ∈ [-2; -1 ) (0; 1 ].

Відповідь: [-2;-1) (0; 1].

Рис. 8

3. Розв'яжіть задачі

1. Чому дорівнює , якщо 7а = с?

2. Запишіть вираз  ∙ ( у вигляді степеня з основою 2.

3.  Розв’яжіть рівняння  =  ∙ 

4. Розв’яжіть нерівність 0,6^3х-1 > 0,36.

5. Розв’яжіть систему рівнянь 

6. Обчисліть .

7. Знайдіть значення виразу log₃ (9а), якщо log₃ а = 0,3.