08.12.2022    група  № 7   факультатив

Тема уроку: Середня лінія трикутника, трапеції. Подібність трикутників

1. Опрацюйте відеоуроки

https://www.youtube.com/watch?v=AF9BZtdfhMc

https://www.youtube.com/watch?v=O0F0RghfR3E

2. Законспектуйте

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який сполучає середини двох її сторін.

На малюнку 218 КL - середня лінія трикутника АВС.

Властивість середньої лінії трикутника:

Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

На малюнку 218: 

Приклад 1. Периметр трикутника дорівнює 30 см. Знайдіть периметр трикутника, вершини якого - середини сторін даного.

Розв’язання (мал. 219). 1) За умовою Р _∆ ABC = 30 см.

Приклад 2. Периметр трикутника, який утворений середніми лініями даного трикутника дорівнює 30 см, а сторони даного трикутника відносяться, як 4:5:6. Знайдіть сторони даного трикутника.

Розв’язання (мал. 219). 1) Використовуючи попередню задачу, маємо Р _∆ ABC = 2 ∙ Р _∆ KLN = 2 ∙ 30 = 60 (см).

2) Позначимо сторони даного трикутника АВС : АС = 4х; ВС = 5х; АВ = 6х. Тоді 4х + 5х + 6х = 60; 15х = 60; х = 4 см.

3) Маємо АС = 4 ∙ 4 = 16 (см), ВС = 5 ∙ 4 = 20 (см), АВ = 6 ∙ 4 = 24 (см).

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини її бічних сторін.

На малюнку 263 відрізок KL - середня лінія трапеції ABCD.

Властивість середньої лінії трапеції:

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

На малюнку 263 KL || AD; KL || ВС і 

Приклад 1. Бічні сторони трапеції дорівнюють 6 см і 7 см, а її середня лінія - 9 см. Знайдіть параметри трапеції.

Розв’язання. 1) На малюнку 263 зображено трапецію, у якої бічні сторони АВ = 6 см, СD = 7 см; середня лінія КL = 9 см.

2) Оскільки 

3) Тоді периметр

Р = АВ + ВС + CD + DA = АВ + CD + (AD + ВС) = 6 + 7 + 18 = 31 (см).

Приклад 2. У рівнобічній трапеції діагональ ділить гострий кут навпіл. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться, як 1:2, а периметр трапеції дорівнює 60 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCD - дана трапеція (мал. 264). BC : AD = 1 : 2;

 BAC =  CAD; EF - середня лінія.

2) Позначимо ВС = х, тоді AD = 2х і 

3)  САD =  ВСА (внутрішні різносторонні при прямих АD і ВС та січній АС).  ВАС =  САD (за умовою). Тому  ВАС =  ВСА. Отже, ∆ВАС - рівнобедрений (за ознакою рівнобедреного трикутника). Тому АВ = ВС = х. Також СD = АВ = х.

4) Оскільки периметр трапеції дорівнює 60 см, маємо х + х + х + 2х = 60; 5х = 60; х = 12 см.

5) Тоді EF = 3/2 ∙ 12 = 18 (см).

Ознаки подібності трикутників

Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами)

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 3).

Друга ознака подібності трикутників (за двома сторонами і кутом між нами)

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники є подібними (рис. 4).

 = 

Рис. 3

Рис. 4

Третя ознака подібності трикутників (за трьома сторонами) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 5).

 =  = 

Рис. 5