математика МПТУ

08.12.2022 група №7 факультатив

Тема уроку: Опорні задачі трикутника, прямокутного трикутника,чотирикутників

1. Передивіться відеоуроки

https://www.youtube.com/watch?v=AGGzvEp2isM

https://www.youtube.com/watch?v=AOqk1bUJY3A

2. Повторіть теорію

Трикутник — це геометрична фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і відрізків, які з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки — його сторонами. На рис. 1 зображено трикутник із вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Цей трикутник позначається так: ∆АВС.

Кути CAB, ABC, АСВ називаються кутами трикутника. Найчастіше їх позначають однією буквою: ∠A, ∠B, ∠C. Сторону ВС і кут А трикутника ABC називають протилежними. Протилежними є також cтopона АC і кут В, сторона АВ і кут С. Кути А і С, В і С, А і В називаються прилеглими до сторін АС, ВС, АВ.

Периметром трикутника називають суму довжин трьох сторін трикутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, СА і АВ — відповідно, через а, b, с (рис. 2), то

Р = а + b + с.

Рис. 1

Рис. 2

Теорема. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто c < a + b, a < c + b, b < a + c (рис. 2).

Види трикутників

Залежно від довжин сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.

Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім (рис. 3).

Трикутник, який має дві рівні сторони, називають рівнобедреним (рис. 4). Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона — основою трикутника. На рис. 4 ∆ABC — рівнобедрений, у нього АВ = ВС, тобто АВ, ВС— бічні сторони, АС — основа.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильніш (рис. 5). У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.

Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.

Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі (рис. 6).

Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут (рис. 7). Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони — катетами. На рис. 7 сторона АС — гіпотенуза, сторони АВ і ВС— катети.

Тупокутним називаєтеся трикутник, у якого є тупий кут (рис. 8).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Висоти, бісектриси і медіани трикутника

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений із його вершини до прямої, яка має протилежну сторону. На рис. 9 відрізок BD — висота відповідно гострокутного (рис. 9, а), тупокутного (рис. 9, б) і прямокутного (рис. 9, в) трикутників.

Рис. 9

Рис. 10

Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці (рис. 10).

Медіаною трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Нарис. 11 ВМ—медіана трикутника АВС. Медіани трикутника перетинаються в одній точці (рис. 12), яка називаєтеся центром мас трикутника.

Бісектрисою трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину кута і точку протилежної сторони й ділите кут навпіл. На рис. 13 BL — бісектриса трикутника ABC.

Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці (рис. 14). яка є центром кола вписаного в трикутник.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Поняття про рівність фігур

Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто будь-які дві точки А і В однієї фігури F переводяться в точки А₁ і В₁ другої фігури F₁ так, що

AВ = A₁В₁ (рис. 16).

Дві фігури F₁ і F₂ називаються рівними, якщо вони рухом переводяться одна в одну.

Запис F = F₁ означає, що фігура F дорівнює фігурі F₁.

Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої та поворот площини навколо точки є рухами.

Рис.16

На рис. 17 зображено рівні трикутники ABC і А₁B₁С₁. Рівність трикутників позначається так: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого. На рис. 24 ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.

На рисунку рівні відрізки позначаються рівною кількістю рисок, а рівні кути — однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні куга, а проти рівних кутів — рівні сторони.

Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 18).

Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)

Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники — рівні (рис. 19).

Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 20).

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:

1) два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;

2) катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому кугу друг ого трикутника;

3) гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;

4) гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.

Властивості рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник має такі властивості.

1. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні. На рис. 21 АВ = ВС, тобто ∆АВС — рівнобедрений, отже, ∠A = ∠C.

2. У рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є і бісектрисою, і висотою.

Рис. 21

3. У рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є і бісектрисою, і медіаною.

4. У рівнобедреного трикутника бісектриса, проведена до основи, є і висотою, і медіаною.

На рис. 22 у ∆ABC (АВ = ВС) відрізок BD є і медіаною (AD = DC), і висотою (BD ⊥ АС), і бісектрисою (∠ABD = ∠CBD).

Рис. 22

Ознаки рівнобедреного трикутника

Якщо в трикутнику:

2) медіана і висота збігаються,

3) медіана і бісектриса збігаються,

4) висота і бісектриса збігаються, то він є рівнобедреним.

Поняття про подібність фігур

Фігура F₁ називається подібною до фігури F(F₁ ~ F). якщо існує відображення фігури F на фігуру F₁, при якому для будь-яких двох точок А і B фігури F тa їх образів A₁ і В₁фігури F₁, відношення відстаней АВ і А₁В₁ є величиною сталою (рис. 1).

Число k = називають коефіцієнтом подібності.

У подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Зокрема, у подібних трикутниках ABC і А₁В₁С₁ (рис. 2):

∠A = A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁;

Рис. 1

Рис. 2

= = .

Ознаки подібності трикутників

Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами)

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 3).

Друга ознака подібності трикутників (за двома сторонами і кутом між нами)

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники є подібними (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

Третя ознака подібності трикутників (за трьома сторонами) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є подібними (рис. 5).

= =

Рис. 5

Теорема Піфагора та її наслідки

Теореми. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів. На рис. 6 АВ² = АС² + ВС², або с² = а² + b².

Наслідки з теореми Піфагора

1. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу.

2. Квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи і другого катета.

а² = с² - b², b² = с² - а².

Рис. 6

3. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. На рис.7

S = S₁ + S₂.

Теореми, обернена до теореми Піфагора

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей трикутник є прямокутним.

Рис. 7

Теореми синусів і косинусів

Теореми косинусів. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Наприклад: у ∆ABC (рис. 1)а² = с¹ + b² -2bc cosa, b² = а² +с² -2ас cos β, с² = а² + b² - 2ab cosγ.

Теореми синусів. У довільному трикутнику відношення будь-якої сторони до синуса протилежного кута стале і дорівнює діаметру описаного

навколо нього кола (рис. 2):

= = =2R.

Рис. 1

Варто пам’ятати, що синуси суміжних кутів рівні, а їх косинуси — протилежні числа:

sin(180° - a) = sina, cos(180° - a) = - cosa.

Рис. 2

Poзв’язyвання трикутників

Розв’язуванням трикутників називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) за будь-якими трьома даними елементами, що визначають трикутник.

Розгляньмо три задачі на розв’язування трикутників. При цьому будемо користуватися такими позначеннями для сторін трикутника ABC: АВ = с, ВС = а, СА = b (див. рисунок 1).

Задача 1. Дано: a, b, ∠С. Знайти: с, ∠А, ∠В (розв'язування трикутника за двома сторонами і кутам між ними).

Розв’язання

За теоремою косинусів знаходимо с:

c = .