27.12.2022     група  №7 факультатив 1

 Тема уроку: Тригонометричні рівняння. Рівняння, що зводяться до квадратних(тригонометричні)

1. Повторіть формули та розгляньте приклади

Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь

Методи розв'язування тригонометричних рівнянь

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin²х + 4cos х = 2,75.

Розв’язання

Замінивши sin² х на 1 - cos² х, маємо:

1 - cos²х + 4cos х - 2,75 = 0,

- cos² x + 4cos x - 1,75 = 0,

cos² x - 4cos x + 1,75 = 0.

Нехай x = 1, тоді t² - 4t + 1,75 = 0. Звідси t₁ = , t₂ =  > 1.

Оскільки t₂ > 1, то cos x =  — розв’язків немає.

Оскільки t₁ = , то cosx = , х = ±  + 2n, n∈Z.

Відповідь: ±  + 2n, n∈Z.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння tg + 3ctgx = 4.

Розв'язання

tgх + 3ctg x = 4, tgх +  = 4.

Нехай tg x = t, тоді t + , = 4, t² - 4t + 3 = 0, t₁ = 1 і t₂ = 3.

Маємо: 1) tgx = 1, х =  + n, n∈Z; 2) tgx = 3, x = arctg 3 + n, n∈Z.

Відповідь:  + n, arctg3 + n, n∈Z.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f (х) g (х) = 0

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Розглянемо приклади.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 1 + cosx - 2cos = 0.

Розв'язання

Урахувавши, що 1 + cosx= 2cos²  маємо:

2cos² — 2 cos = 0; 2cos(cos -1 ) = 0.

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:

1) cos  = 0;  =  + n, n ∈ Z =  + 2n, n ∈ Z;

2) cos  = 1;  = 2n, n ∈ Z; х = 4n, n ∈ Z.

Відповідь:  + 2n, 4n, n ∈ Z.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння sin 2х - sin х = 0.

Розв'язання

sin 2х - sin х = 0; 2 sin cos = 0; 2sincos = 0.

1) sin  = 0;  = n, х = 2  n, n ∈ Z;

2) cos = 0;  =  +  n, х =  + , n ∈ Z.

Відповідь: 2  i  + , n ∈ Z.

Однорідні тригонометричні рівняння

Розглянемо рівняння виду asin х + bcos х = 0 (однорідне рівняння 1 -го степеня), де а і b не дорівнюють нулю.

Значення х, при яких cos х дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin х теж дорівнював би нулю, a cos х і sin х не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos х.

Маємо  +  = 0; atgx + b = 0; tgx = -; x = -arctg + n, n ∈ Z.

Рівняння виду asin² х + bsin xcos х + ccos² x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня. Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння нacos²x(aбo на sin² х). (У даному рівнянні cos² х ≠ 0, бо у протилежному випадку sin² х теж дорівнював би нулю, a cos х і sinx не можуть одночасно дорівнювати нулю.) Тоді  +  +  = 0.

Розв’язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

Рівняння виду a_nsinⁿ х + а_n-1 sin^n-1 xcos х + ...+ a₁sin xcos^n-1 х + a₀ cosⁿ x = 0 називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.

Якщо жоден із коефіцієнтів а_n, а_n-1, .... а₁, а₀ не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosⁿx, одержимо рівняння n-го степеня відносно tgx.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів а_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на cosⁿx, слід довести, що cosⁿх ≠ 0, тобто, cos х ≠ 0.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння cos² х - 2cos xsin х = 0.

Ділити обидві частини на cos²x не можна, бо cos²x = 0 є розв'язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати у такі способи.

І спосіб (винесення множника)

cos² х - 2cos xsin х = 0; cos х (cos х - 2sin х) = 0.

Звідси cos х = 0 або cos х - 2sin х = 0.

1) cosx = 0;x =  + n, n ∈ Z;

2) cosx - 2sinx = 0;  -  = 0;

1 - 2tgx = 0; tgx = ; x = arctg  + n, n ∈ Z.

Відповідь:  + n, n ∈ Z; arctg  + n, n ∈ Z.

II спосіб. Розділимо обидві частини на sin² х, оскільки sinx ≠ 0 у даному рівнянні, бо у протилежному випадку і cos х = 0, що неможливо.

 =  = 0; ctg² х - 2ctg х = 0; ctgx (ctg x - 2) = 0.

ЗВІДСИ ctg х = 0, або ctg х = 2.

1) ctgx = 0, x =  + n, n ∈ Z.

2) ctg х = 2; х = arcctg 2 + n, n ∈ Z.

Відповідь:  + n, arcctg2 + n, n ∈ Z.

2. Розв'яжіть у зошиті

1. Яке з наведених рівнянь не має розв’язків?

2. Розв’яжіть рівняння 

3. Установіть відповідність між рівнянням (1-3) та його розв’язками (А-Г).

4 (3 бали). Розв’яжіть рівняння:

5 (4 бали). Знайдіть корені рівняння:

3. Опрацюйте  відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=PuhVVWXz6VQ

4. Запишіть у зошит

Якщо тригонометричне рівняння містить лише одну тригонометричну функцію з одним і тим самим аргументом, то позначивши цю функцію новою змінною, отримаємо алгебраїчне рівняння відносно цієї змінної.

Приклад. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Позначимо  Маємо рівняння  Оскільки |t| ≤ 1, то підходить лише перший корінь. Маємо 

5.  Розв’яжіть рівняння: