27.12.2022 група  №7   факультатив 2

Тема уроку: Однорідні рівняння.  Рівняння, що розв'язуються розкладанням на множники

1. Опрацюйте відеоуроки

https://www.youtube.com/watch?v=SheLVps6WOQ

https://www.youtube.com/watch?v=Km8ygE1HE7c

2. Законспектуйте та вивчіть

Тригонометричні рівняння a sin х + b cos х = 0, де а і b — числа, а ≠ 0, b ≠ 0, називають однорідними тригонометричними рівняннями 1-го степеня відносно sin х і cos х.

Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Дійсно у разі cos х = 0 рівняння набуває вигляду a sin x = 0. Оскільки а ≠ 0, то матимемо sin x = 0. Проте sin x і cos x не можуть одночасно дорівнювати нулю.

Поділивши ліву і праву частини рівняння a sin x + b cos x = 0 на cos x ≠ 0, матимемо a tg x + b = 0, після чого закінчуємо розв’язання.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2 sin x – 7 cos x = 0.

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на cos x ≠ 0. Матимемо

Тригонометричне рівняння  де а, b, с — числа, з яких хоча б два відмінні від нуля, називають однорідними тригонометричними рівняннями другого степеня відносно sin x і cos x. Сума показників степенів у всіх доданків при sin x і cos x дорівнює двом.

Якщо а ≠ 0, то рівняння (по аналогії з однорідним 1-го степеня) розв’язують, поділивши на cos² х ≠ 0 з подальшою заміною tg x = t. Якщо ж а = 0, то виносимо cos х за дужки та застосовуємо прийом відомий нам з попереднього пункту.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Розділимо ліву і праву частини рівняння на cos² х ≠ 0. Маємо

Заміна tg x = t, маємо 

До однорідних можуть зводитися рівняння, які мають зовнішній вигляд, відмінний від зовнішнього вигляду однорідного рівняння. При цьому часто застосовують формули тригонометричних функцій подвійного кута та тотожність 

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Застосовуємо формулу sin 2х = 2 sin x cos x і таку тотожність  Маємо

Поділимо ліву і праву частини на cos² х ≠ 0. Маємо  Заміна tg x = t. Рівняння 3t² —2t — 5 = 0 має корені t ₁ = -1; t ₂ = 5/3. Тоді 

3. Розв'яжіть рівняння

 3. Законспектуйте і вивчіть

Нехай маємо рівняння f(х) = 0, ліву частину якого вдається розкласти на множники f ₁(х) ∙ f ₂(x) ∙...∙ f_n (x) = 0. Оскільки добуток кількох множників дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників, то далі необхідно розв’язати кожне з рівнянь f ₁(х) = 0; f ₂(x) = 0...f_n (x) = 0 і перевірити отримані корені на предмет входження їх в ОДЗ початкового рівняння.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin 2x – 3 cos х = 0.

Розв’язання. ОДЗ рівняння складається з усіх дійсних чисел. sin 2х — sin х cos х. Маємо 

Отже,  - множина розв’язків початкового рівняння.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння sin 7x – sin 3x = 0.

Розв’язання. ОДЗ: х  R. Застосовуємо формулу

Матимемо

4. Виконайте тест

Запитання 1

Розв'яжіть рівняння 2cos2x=√3cosx

варіанти відповідей

 

+-π/3+2πn, n∈Z

 

 

+-π/6+2πn, n∈Z

 

 

+-π/6+2πn, n∈Z, π/2+πn n∈Z

 

 

+-π/3+2πn, n∈Z; πn n∈Z

Запитання 2

Розв'яжіть рівняння sin3x-sin11x=0

варіанти відповідей

 

πn/7; π/8+πn/4, n∈Z

 

 

πn/4; π/14+πn/7, n∈Z

 

 

πn/4; πn/7, n∈Z

 

 

π/14+πn/7, n∈Z π/8+πn/4, n∈Z

Запитання 3

Розв'яжіть рівняння sin2x+6sinx=0

варіанти відповідей

 

π/2+πn, +-arccos(-3)+2πn n∈Z

 

 

πn, +-arccos(-3)+2πn n∈Z

 

 

π/2+πn n∈Z

 

 

πn n∈Z

Запитання 4

Розв'яжіть рівняння cosx-cos9x=sin5x

варіанти відповідей

 

π/8+πn/4 ; (-1)n+1π/24+πn/4, n∈Z

 

 

π/8+πn/4 ; (-1)nπ/24+πn/4, n∈Z

 

 

πn/5 ; (-1)n+1π/24+πn/4, n∈Z

 

 

πn/5 ; (-1)nπ/24+πn/4, n∈Z

Запитання 5

Укажіть кількість коренів рівняння cos7x+sinxsin6x=0, що належать проміжку ⌈0;π/2⌉

варіанти відповідей

 

Один

 

 

Два

 

 

Три

 

 

Чотири

Запитання 6

Знайдіть суму коренів рівняння 2cos2х/2+sin3x=1, що належать проміжку ⌈0;π/2⌉

варіанти відповідей

 

3π/8

 

 

π/2

 

 

5π/8

 

 

3π/4