05.12.2022     група   №14     геометрія  (повторення)

Тема уроку:   Тіла обертання

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=t-IkqCptS7E

2. Повторіть теорію

Формули площі поверхні та об'ємів циліндра, конуса. Формули площі поверхні сфери, об'єму кулі

Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і якійсь твірній, а потім розгорнути її на площині, то утвориться розгортка циліндра (рис. 1).

Площею поверхні циліндра називається площа його розгортки.

Площа поверхні циліндра S_цил дорівнює сумі площ основ S_осн і бічної поверхні S_біч :

S_цил = 2S_осн + S_біч

Рис.1

Оскільки S_біч = 2RH, S_осн = R², де R — радіус основи циліндра, Н — його висота, то

S_цил = 2RH + 2R² = 2R (R + Н) (рис. 2).

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто

V_цил = S_осн ∙ Н = R²H (рис. 2).

Рис. 2

Площа бічної поверхні конуса дорівнює півдобутку довжини кола основи на його твірну, тобто S_кон = Rl (рис. 3).

Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площі основи:

S_кон = S_біч + S_осн = Rl + R² = R(R + l). (рис. 3).

Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту конуса, тобто

V_КОН = R²H (Рис. 3).

Рис. 3

Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює півдобутку суми довжин кіл основ на довжину твірної, тобто S_{біч зрк он} = l(R + r), де l—твірна, R і r—радіуси основ (рис. 4). Площа повної поверхні зрізаного конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площ основ:

S_{повн зр кон} = S_біч + R² + r² = l(R + r) + R² + r² (рис. 4).

Об’єм зрізаного конуса обчислюється за формулою:

V_{зр кон} = Н(R² + Rr + r²),

де R і r — радіуси основ, V — висота конуса (рис. 4).

Площа поверхні сфери знаходитеся за формулою

S = 4R²,

де R — радіус сфери (рис. 5).

Площа сферичного сегмента (рис. 6) обчислюєтеся за формулою

S = 2RH.

де R — радіус сфери, Н — висота сегмента.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Площа сферичного поясу (кільця) знаходиться за формулою

S = 2RН.

де R — радіус сфери, Н — висота поясу (кільця) (рис. 7).

Об’єм V кулі обчислюється за формулою

V =  R³,

де R — радіус кулі (рис. 5).

Об’єм кульового сегмента обчислюється за формулою

V = H²(R - ),

де R — радіус кулі, Н — висота кульовою сегмента (рис. 6).

Рис.7

Об’єм кульового сектора обчислюється за формулою

V =  R²H,

де R— радіус кулі, Н — висота відповідного кульового сегмента (рис. 8).

Рис. 8

3. Розв'яжіть задачі

1. Знайдіть об’єм циліндра, якщо розгортка його бічної поверхні — квадрат зі стороною а.

2. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із гіпотенузою 12 см. Знайдіть об’єм конуса.

3. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 11 см і 6 см, твірна дорівнює 13 см. Знайдіть об’єм конуса.

4. Знайдіть об’єм (у см³) куба, описаного навколо кулі, площа поверхні якої дорівнює 36  см².