06.12.2022      група  №2    геометрія (повторення)

Тема уроку:  Коло, круг та його елементи

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=jaqEUt9_cik

2. Законспектуйте і вивчіть

Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Цю точку називають центром кола, а відрізок, що сполучає центр кола з будь-якою точкою кола, називають радіусом.

На малюнку 173 зображено коло з центром у точці О і радіусом ОК. Всі радіуси кола мають одну й ту саму довжину. Радіус кола часто позначають буквою r.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою. Хорду, що проходить через центр кола, називають діаметром. На малюнку 174 зображено хорду МN та діаметр АВ. Діаметр кола часто позначають буквою d.

Діаметр кола удвічі довший за радіус: d = 2r.

Розглянемо деякі властивості елементів кола.

1. Діаметр є найбільшою з хорд.

2. Діаметр з будь-якої точки видно під прямим кутом.

На малюнку 175: АВ — діаметр кола, М — довільна точка кола. Тоді  AMB = 90°.

3. Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

На малюнку 176: АВ — діаметр, КL — хорда, АВ КL. Тоді КТ = ТL.

4. Діаметр кола, що проходить через середину хорди, яка не є іншим діаметром, перпендикулярний до цієї хорди.

На малюнку 176: АВ — діаметр, КL — хорда, КТ = ТL. Тоді АВ  КL.

Частину площини, обмежену колом, разом із самим колом, називають кругом (мал. 177).

Центром, радіусом, діаметром, хордою круга називають відповідно центр, радіус, діаметр, хорду кола, яке є межею даного круга.

Центральним кутом називають кут з вершиною у центрі кола.

На малюнку 178АОВ — центральний кут. Він розбиває коло на дві дуги АМВ і ANB. Дугу кола можна вимірювати в градусах: градусною мірою дуги кола називають градусну міру відповідного центрального кута.

Наприклад, якщо AOB = 60°, тоАМВ = 60° (використано значок дуги), а ANB = 360° - 60° = 300°.

Кажуть, щоАОВ спирається на дугу АМВ. Вписаним кутом називають кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають його.

На малюнку 179: АВС — вписаний кут. Властивість вписаного кута. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

На малюнку 180: ABC — вписаний кут, що спирається на дугу АМС; AOC — центральний кут, що спирається на ту саму дугу АМС. Тоді 

Наслідок 1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні (мал. 181).

Наслідок 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр прямий (мал. 182).

Приклад. Точка О — центр кола (мал. 183), АВМ = 56°. Знайдіть величину кута х.

Розв’язання. 1)МВА = 56°, томуMNA = 56° ∙ 2 = 112°.

Якщо хорди АВ і СВ перетинаються в точці S, то АS ∙ ВS = СS ∙ DS (мал. 184).

Приклад. Хорда АВ, довжина якої 11 см, перетинається з хордою СDБ в точці S. АSв = 3 см; СSв = 4 см. Знайдіть довжину хорди СD.

Розв’язання. 1) SВ = АВ - АS = 11 - 3 = 8 (см).

2) За властивістю хорд, що перетинаються

АS ∙ BS = СS ∙ DS;

3 ∙ 8 = 4 ∙ DS; DS = 6 (см).

3) Тоді СD = DS + SС = 6 + 4 = 10 (см).

Дотичною до кола називають пряму, яка має одну спільну точку з колом. Цю точку називають точкою дотику.

На малюнку 185 пряма а — дотична до кола із центром у точці О; точка А — точка дотику.

Властивості дотичної до кола:

1. Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного у точку дотику.

На малюнку 185: а  ОА.

2. Відстань від центра кола до дотичної до цього кола дорівнює радіусу кола.

На малюнку 185: відстань від центра кола точки О до дотичної а дорівнює радіусу кола ОА.

3. Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола рівні між собою.

На малюнку 186: до кола із точки А проведено дві дотичні; М і N — точки дотику. Тоді AM = AN.

Пряму, яка має з колом дві спільні точки називають січною. На малюнку 187 пряма m — січна до кола.

Властивості дотичної та січної.

1. Якщо з точки S, яка знаходиться поза колом, провести січну, яка перетинає коло в точках А і В та січну SС, де С — точка дотику, то

SС² = SА ∙ S8В (мал. 188).

2. Якщо з точки S провести дві січні, одна з яких перетинає коло в точках А і В, а друга в точках М і N, то 

SА ∙ SВ = SМ ∙ SN (мал. 189).

Приклад. З точки S, що знаходиться поза колом, до кола проведено січну, що перетинає коло в точках А і В та січну SC завдовжки 6 см. AB = 5 см. Знайдіть SA, якщо SA < SB.

Розв’язання (мал. 188). Нехай SA = х см, тоді SB = х + 5 (см). Маємо SC² = SA ∙ SB; 6² = х(х + 5); х² + 5 - 36 = 0. Враховуючи х > 0, маємо х = 4 (см). Отже, SA = 4 (см).

Розглянемо взаємне розміщення двох кіл, центри яких точки О ₁ і O ₂, а радіуси відповідно r ₁ і r ₂, де r ₁≥ r ₂.

а) Два кола не перетинаються, тобто не мають спільних точок (мал. 190 і мал. 191).

Тоді О ₁O ₂ > r ₁ + r ₂ (мал. 190) або О ₁O ₂ < r ₁ - r ₂ (мал. 191).

б) Два кола мають одну спільну точку (мал. 192 і мал. 193).

В цьому випадку кажуть, що кола дотикаються, а спільну точку називають точкою дотику.

Можливі два випадки розміщення: дотик називають зовнішнім, якщо центри кіл розміщенні по різні боки від точки дотику (мал. 192) і внутрішнім, якщо по один бік від спільної точки (мал. 193).

У випадку зовнішнього дотику:

1) О ₁O ₂ = r ₁+ r ₂.

2) У точці А існує спільна дотична l до двох кіл.

3) l  О ₁O ₂.

У випадку внутрішнього дотику:

1) О ₁O ₂ = r ₁ - r ₂.

2) У точці А існує спільна дотична l до двох кіл.

3) l  О ₁O ₂.

в) Два кола мають дві спільні точки (мал. 194).

В цьому випадку: r ₁ - r ₂ < О ₁O ₂ < r ₁+ r ₂.

Приклад 1. Відстань між центрами двох кіл О ₁O ₂ = 9 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їх радіуси дорівнюють: 1) r ₁ = 6 см; r ₂ = 3 см; 2) r ₁ = 7 см; r ₂ = 4 см; 3) r ₁ = 2 см; r ₂ = 5 см.

Розв’язання. 1) 9 = 6 + 3; О ₁O ₂= r ₁ + r ₂; зовнішній дотик.

2) 7 – 4 < 9 < 7 + 4; r ₁ - r ₂ < О ₁O ₂ < r ₁ + г₂; кола перетинаються.

3) 9 > 2 + 5; О ₁O ₂ > r ₁ + r ₂; кола не перетинаються.

Приклад 2. Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їх центрами 18 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо вони відносяться як 4:5.

Розв’язання. Позначимо радіуси кіл r ₁ = 4х см; r ₂ = 5х см. Тоді r ₁ + r ₂ = 18; 4х + 5x = 18; 9х = 18; х = 2. Отже, r ₁ = 4 ∙ 2 = 8 (см), r ₂ = 5 ∙ 2 = 10 (см).

Довжина кола, радіус якого дорівнює r, обчислюється за формулою:

С = 2πr.

Приклад 1. Знайдіть діаметр кола, довжина якого дорівнює 18π см.

Розв’язання.

 тоді діаметр d = 2r = 2 ∙ 9 = 18 (см).

Довжина дуги l_n °, що відповідає центральному куту n° кола радіусом r (мал. 195) обчислюється за формулою:

Приклад 2. Радіус кола дорівнює 4 см. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному кут 135°.

Розв’язання. 

Приклад 3. Довжина дуги кола дорівнює 6л см, а її градусна міра — 72°. Знайдіть радіус кола.

Розв’язання.                

3. Розв'яжіть задачі

1. Точка О - центр кола (малюнок),  LKA = 20°. Знайти градусну міру кута LAB.

2. Хорди АВ і CD перетинаються в точці О, АО = ВО = 6 см, СО = 4 см. Знайти довжину хорди CD.

3. Січна, що проходить через точку S, перетинає його в точках А і В, а січна, що проходить через точки S і центр кола О, в точках С і D (малюнок), SА = 4 см, SВ = 16 см, SС = 2 см. Знайти радіус кола.

4. Відстань між центрами двох кіл дорівнює 8 см. Яким є взаємне розміщення кіл, якщо їх радіуси дорівнюють 6 см і 3 см?

5. Два кола мають внутрішній дотик. Відстань між їх центрами дорівнює 16 см. Знайти радіус меншого кола, якщо радіуси кіл відносяться як 3 : 5.

6. Знайти довжину кола, якщо його діаметр на 6 см більший за радіус.

7. Радіус кола дорівнює 18 см. Знайти довжину дуги кола, що відповідає центральному куту 150°.

8. Хорди АD і ВС перетинаються в точці F  АВС = 20°,  ВСD = 100°. Знайти градусну міру кута АFВ.

9. АВ - дотична до кола, точка В - точка дотику, АВ = 6 см. Січна, що проходить через точку А, перетинає коло в точках С і D, СD = 5 см. Знайти (у см) відстань від точки А, до найближчої з точок перетину січної з колом.