02.12.2022    група  №14    факультатив

Тема уроку:   Піраміда

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=pZ4fpG1Pw7E

2. Законспектуйте і вивчіть

Означення піраміди. Елементи піраміди.

Пірамідою називають многогранник, у якого одна з граней (яку називають основою) - довільний многокутник, інші грані - трикутники зі спільною вершиною.

На малюнку 463 зображено піраміду, основою якої є многокутник АВСDЕ. Грані зі спільною вершиною, про які йде мова в означені піраміди, - трикутники АВQ, ВСQ, СDQ, DЕQ, АЕQ. Ці грані називають бічними гранями піраміди. їх спільну вершину - точку Q називають вершиною піраміди. Піраміду, зображену на малюнку 463 називають пірамідою QАВСDЕ. Ребра піраміди, які з’єднують вершину піраміди з вершинами основи піраміди, називають бічними ребрами піраміди. На малюнку 463 відрізки QА, QВ, QС, QD і QЕ - бічні ребра піраміди.

Піраміду називають n -кутною, якщо її основою є n -кутник.

Трикутну піраміду називають також тетраедр. На малюнку 463 зображено п’ятикутну піраміду.

Перпендикуляр, проведений із вершини піраміди до площини основи, називають висотою піраміди.

На малюнку 463 відрізок Q)К є висотою піраміди, точка К - основою висоти.

При розв’язуванні задач важливою є наступна властивість:

Приклад 1. Кожне з бічних ребер тетраедра дорівнює 65/8 см. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см. Знайти висоту піраміди.

Розв’язання (мал. 464). 1) Нехай QАВС - тетраедр, що задано в умові,  ВС = 6 см; QК - висота тетраедра.

2) Оскільки всі бічні ребра тетраедра рівні, то точка К - центр кола, описаного навколо #8710;АВС; АК = R - радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

3) За відомою формулою  де а, b, с - сторони трикутника; S - його площа.

4) Знайдемо площу трикутника за формулою Герона 

Також при розв’язуванні задач важливою є властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні грані утворюють з площиною основи рівні кути або довжини висот всіх бічних граней рівні, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди.

Приклад 2. Основою піраміди є ромб з діагоналями 40 см і 30 см. Висота піраміди дорівнює 5 см. Всі висоти бічних граней рівні між собою. Знайти довжину висоти бічної грані.

Розв’язання. 1) Оскільки всі висоти бічних граней рівні між собою, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу. Оскільки основою є ромб, то точка К - основа висоти є точкою перетину діагоналей ромба. На малюнку 465 зображено піраміду QАВСD, що задано в умові.

2) АВСD - основа піраміди, АС = 30 см, ВD = 40 см, QК - висота піраміди, QК = 5 см.

3) QМ - висота бічної грані, QМ  АD

4) КМ - проекція QМ на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри: КМ  АD.

5) АD - висота прямокутного трикутника АКD.

7) Знайдемо двічі площу ∆АКD: 

Правильна піраміда.

Піраміду називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основи висоти збігаються із центром цього многокутника.

Нагадаємо, що центром правильного многокутника називають центр описаного навколо нього (або вписаного в нього) кола. На малюнку 466 зображено правильну трикутну піраміду, а на малюнку 467 - правильну чотирикутну піраміду, висоти яких - відрізки QК; точка К - центр правильного многокутника, що лежить в основі піраміди.

Віссю правильної піраміди називають пряму, яка містить її висоту.

Властивості правильної піраміди:

1) Усі бічні ребра правильної піраміди рівні.

2) Усі бічні грані правильної піраміди - рівні рівнобедрені трикутники.

3) Усі апофеми правильної піраміди рівні між собою.

Приклад. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а висота - 2 см. Знайти довжину бічного ребра.

Розв’язання. 1) (мал. 466) Нехай QАВС - правильна піраміда, QК = 2 см - висота піраміди.

2) Оскільки точка К - центр описаного навколо трикутника АВС кола, то КВ = R - радіус цього кола. За відомою формулою R = a  /3, де а = АВ = 6 см - сторона основи. Отже,

Перерізи піраміди.

Розглянемо найпростіший переріз піраміди.

Переріз піраміди, що проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані, називають діагональним перерізом.

На малюнку 468: QВD - діагональний переріз чотирикутної піраміди QАВСD.

Діагональні перерізи піраміди - трикутники, однією з вершин яких є вершина піраміди, а протилежна їй сторона - діагональ основи.

Приклад 1. Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3  см, а бічне ребро - 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - правильна чотирикутна піраміда (мал. 467), QАС - її діагональний переріз.

2) За умовою 

4) Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16 (см).

Часто у задачах розглядають перерізи піраміди, що проходять через сторону основи піраміди і перетинають бічні ребра піраміди.

Приклад 2. У правильній трикутній піраміді, сторона основи якої дорівнює 8 см, через сторону основи перпендикулярно До бічного ребра проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо він утворює кут 30° із площиною основи піраміди.

Розв’язання. 1) Проведемо у правильній піраміді QABC з основою ABC висоту ВМ бічної грані BQC (мал. 469).

2) ∆ВМС = ∆АМС (за двома сторонами і кутом між ними), тому  АМС =  BMC = 90°.

3) За ознакою перпендикулярності прямої і площини: АМВ  QC. Тому АВМ - переріз, площу якого треба знайти.

4) CN - висота основи піраміди, CN  АВ, тому за теоремою про три перпендикулярами MN  АВ.

5) За ознакою перпендикулярності прямої і площини маємо MNC  АВ, тому кут MNC - кут, що утворює переріз із площиною основи. За умовою  MNC = 30°.

Площа повної та бічної поверхонь піраміди.

Площею повної поверхні піраміди називають суму площ всіх її граней, а площею бічної поверхні піраміди - суму площ її бічних граней.

Площа S _повн повної поверхні піраміди виражається через площу S _біч її бічної поверхні і площу S _осн основи піраміди формулою

Приклад 1. Всі плоскі кути при вершині тетраедра дорівнюють 30°. Знайти площу бічної поверхні цього тетраедра, якщо його бічні ребра дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см.

Розв’язання. 1) на малюнку 470 тетраедр QАВС. За умовою 

Теорема про площу бічної поверхні правильної піраміди. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на анофему.

Приклад 2. Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а висота - 3 см.

Розв’язання. 1) На малюнку 471 зображено правильну чотирикутну піраміду QABCD, AD = 8 см - сторона основи, яка є квадратом, QK = 3 см - висота піраміди.

2) S _повн = S _біч + S _осн.

3) S_0CH = AD² = 8² = 64 (см²).

4) QM - висота, медіана ∆QDC. Оскільки М середина CD, а К – середина АС, то КМ - середня лінія ∆ACD. Тому КМ = AD/2 = 8/2 = 4 (см).

6) S _біч = pl, де р - півпериметр основи, l = QM - апофема.

Об’єм піраміди

Об’єм піраміди V дорівнює третині добутку площі її основи на висоту:

де S _осн - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

Приклад 1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть об’єм піраміди.

Розв’язання. 1) (мал. 472). Нехай QАВС - задана в умові піраміда; ∆АВС - правильний; ВС = 6 см; QК - висота піраміди;  QВК = 45°.

2) Площа основи  де а = ВС = 6 см - сторона основи. Маємо 

3) Оскільки К - центр трикутника, то КВ = R - радіус кола, описаного навколо основи: 

 Тому ∆QКВ - рівнобедрений і QК = К В = 2 (см).

5) Об’єм піраміди 

Приклад 2. В основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом 30º. Знайти об’єм піраміди, якщо середнє за величиною бічне ребро піраміди дорівнює 4 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - задана в умові піраміда; АВСD - квадрат; бічні грані QАD і QАВ перпендикулярні площині основи (мал. 473).

2) Оскільки бічні грані QАD і QАВ перпендикулярні площині основи, то бічне ребро по якому перетинаються ці грані, також перпендикулярне до основи. Тому QА = h - висота піраміди.

3) АD  DС, тому за теоремою про три перпендикуляри QD  DС. А отже QАD  DС. Тому  QDA - кут, що утворює бічна грань QDС із площиною основи.  QDA = 30° (за умовою).

4) Оскільки ∆QАD - прямокутний ( A = 90°), то QD > QА. ∆QDC - прямокутний ( QDC = 90°), тому QD < QС. Враховуючи також QD = QВ (з рівності трикутників QAD і QАВ) матимемо, що саме QD - середнє за величиною бічне ребро. За умовою QD = 4 см.

5) В ∆QАО: QА = 4/2 = 2 (см), використовуючи властивість катета, що лежить проти кута 30°.

6) Площа основи 

7) Об’єм піраміди 

Приклад 3. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 4 см, 5 см і 6 см. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60º. Знайти об’єм піраміди.

Розв’язання. 1) Нехай QАВС - задана в умові піраміда, АВ = 4 см, АС = 5 см, ВС = 6 см (мал. 474).

2) За відомою властивістю: точка К - основа висоти QК є центром кола, описаного навколо ∆АВС. АК = R - радіус описаного кола.

3)  QАК = 60° (за умовою).

5) Оскільки  де S – площа трикутника, то маємо 

Означення зрізаної піраміди. Елементи зрізаної піраміди.

Розглянемо довільну піраміду QАВС...L. Проведемо площину α, паралельну до основи піраміди. Ця площина перетинає бічні ребра піраміди у точках А ₁, В ₁, С ₁, ... ,L ₁ (мал. 475). Площина α розбиває піраміду на два многогранники.

Многогранник, гранями якого є многокутники АВС...L і А₁В₁С₁...L ₁ (нижня і верхня основи), що розташовані у паралельних площинах і чотирикутники АА₁В₁В, BВ₁С₁ C,…,LL ₁А₁ A (бічні грані) називають зрізаною пірамідою. Відрізки АА₁, ВВ₁, СС₁, ...,LL ₁ називають бічними ребрами зрізаної піраміди.

Зрізану піраміду з основами АВС...L і А₁В₁С₁...L ₁ позначають так АВС...LА₁В₁С₁...L ₁.

Зрізану піраміду називають n -кутною, якщо її основами є n -кутники.

Перпендикуляр, проведений з деякої точки однієї основи до площини іншої основи, називають висотою зрізаної піраміди. На малюнку 475 відрізок КК₁ - висота зрізаної піраміди.

Властивості зрізаної піраміди:

1) Бічними гранями зрізаної піраміди є трапеції.

2) Основи зрізаної піраміди - подібні многокутники.

 Правильна зрізана піраміда.

Зрізану піраміду називають правильною, якщо вона отримана в результаті перерізу правильної піраміди площиною, паралельною основі.

Висоту бічної грані правильної зрізаної піраміди називають апофемою правильної зрізаної піраміди.

Зазначимо властивості правильної зрізаної піраміди.

1) Усі бічні ребра правильної зрізаної піраміди рівні.

2) Усі бічні грані правильної зрізаної піраміди - рівні рівнобедрені трапеції.

3) Усі апофеми правильної зрізаної піраміди рівні між собою.

Діагональний переріз зрізаної піраміди.

У шкільному курсі геометрії розглядають діагональний переріз зрізаної піраміди.

Переріз зрізаної піраміди, що проходить через два бічних ребра, що не лежать на одній грані, називають діагональним перерізом.

На малюнку 476: АА ₁С ₁C - діагональний переріз чотирикутної зрізаної піраміди АВСDА ₁B ₁С ₁D ₁. Діагональні перерізи зрізаної піраміди - трапеції, основами яких є паралельні діагоналі основ, а бічними ребрами - бічні ребра зрізаної піраміди.

Приклад. Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнюють 7 см і 3 см, а бічне ребро утворює із площиною більшої основи кут 45º. Знайти площу діагонального перерізу зрізаної піраміди.

Розв’язання. 1) Нехай АВСDА₁В₁С₁ D ₁ - задана в умові правильна чотирикутна зрізана піраміда, АВ = 7 см,

4) Виконаємо планіметричний малюнок перерізу АА ₁С ₁С, площу якого необхідно знайти (мал. 477) і проведемо в ньому дві висоти А ₁М і С ₁К.

5) Тоді 

 тому ∆АА ₁М — рівнобедрений і 

Площі повної та бічної поверхонь зрізаної піраміди.

Площею бічної поверхні зрізаної піраміди називають суму площ її бічних граней, а площею повної поверхні суму площ всіх її граней.

Площа S _повн повної поверхні зрізаної піраміди виражається через площу S _біч її бічної поверхні і площ S ₁ і S ₂ основ піраміди формулою

Теорема про площу бічної поверхні правильної зрізаної піраміди. Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на анафему.

Якщо р₁ - півпериметр однієї основи, р₂ - півпериметр іншої, а l - апофема правильної зрізаної піраміди, то площу бічної поверхні можна знайти за формулою

Приклад. Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють 14 см і 4 см, а бічне ребро - 13 см. Знайти площу бічної поверхні зрізаної піраміди.

Розв’язання. 1) На малюнку 478 зображено правильну зрізану трикутну піраміду АВСА₁В₁С ₁, АВ = 14 см, А ₁В ₁ = 4 см, АА ₁ = 13 см.

2) Виконаємо планіметричний малюнок бічної грані АА ₁В ₁В (мал. 479). А ₁М - висота бічної грані, апофема піраміди.

Об’єм зрізаної піраміди.

Об’єм V зрізаної піраміди з висотою h і площами основ S і S₁ обчислюється за формулою

Приклад. Знайти об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, у якої сторони основ дорівнюють 4 см і 2 см, а бічна грань нахилена до площини основа під кутом 45°.

Розв’язання. 1) На малюнку 480 зображено правильну зрізану піраміду, що задано в умові, А₁ D ₁ = 2 см, АD = 4 см.

2) Площі основ S = 4² = 16 (см²), S ₁ = 2² = 4 (см²).

3) ОК і O ₁К₁ - радіуси кіл вписаних в основи, O ₁К₁ = 2/2 = 1 (см), ОК = 4/2 = 2 (см).

4) Проведемо К ₁L паралельно до висоти O ₁O, К ₁L = O ₁O = h.

5) КL = КО – К ₁O ₁ = 2 - 1 = 1 (см).

6)  К ₁КL - кут нахилу бічної грані до площини основи,  К ₁КL = 45° (за умовою).

7) Тоді ∆К ₁КL - рівнобедрений, КL = К ₁L і К ₁L = 1 (см).

8) Отже,