математика МПТУ: жовтня 2022

понеділок, 31 жовтня 2022 р.

01.11.2022 група №7 геометрія

Тема уроку: Вимірювання кутів між прямою і площиною

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=vOSsTwjFuL0

2. Законспектуйте в зошиті

Якщо пряма паралельна площині або їй належить, то вважають, що кут між такими прямою і площиною дорівнює 0°. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними, природно, вважаємо рівним 90°.

Нехай дано пряму а, що перетинає площину а у точці М і не є перпендикулярною до цієї площини (мал. 439). Основи перпендикулярів, опущених з точок прямої а на площину αb належать прямій b (мал. 439). Цю пряму b називають проекцією прямої а на площину α.

Кутом між площиною і прямою, яка перетинає площину і не є перпендикулярною до площини, називають кут між прямою і її проекцією на площину.

На малюнку 439 кут АМВ є кутом між прямою а і площиною а. Очевидно, що кут φ між прямою і площиною задовольняє умову 0° ≤ φ ≤ 90°.

Аналогічно до кута між прямою і площиною визначається кут між похилою і площиною.

Приклад. З точки до площини проведено похилу завдовжки 12 см. Знайти кут, який утворює похила з площиною, якщо проекція похилої дорівнює 6 см.

Розв’язання. 1) На малюнку 439 похила АМ = 12 см, проекція похилої на площину ВМ = 6 см. Необхідно знайти величину кута АМВ.

3. Розв'яжіть задачі

1) Точка M віддалена від площини квадрата ABCD на 4 см, а від усіх його сторін на 2√6 см. Знайдіть кут між прямою AM і площиною квадрата.

2) На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Скориставшись рисунком, назвіть:

1) кут між прямою D₁B і площиною ABC;

2) кут між прямою D₁C і площиною ADD₁;

3) кут між прямими D₁B і AD;

4) кут між прямими D₁C і AB;

5) кут між площинами A₁BC і ABC;

6) кут між площинами ADD₁ і DCC₁.

3) Катети прямокутного трикутника ABC мають довжину 60 см і 80 см. Із вершини C прямого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр CD завдовжки 36 см. Знайдіть тангенс кута між відрізком DF і площиною трикутника, де DF — перпендикуляр, проведений із точки D до прямої AB.

4) Менша сторона прямокутника, що дорівнює 6 см, лежить у площині α, а протилежна їй сторона віддалена від площини α на 4√3 см. Кут між площиною прямокутника і площиною α дорівнює 60°. Обчисліть кут, що утворює діагональ прямокутника з площиною α.

01.11.2022 група №7 алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Найпростіші тригонометричні рівняння

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=veTWz-lvU1w

2. Законспектуйте і вивчіть

cos t = а, а - число

а < -1 або а > 1 Рівняння не має розв’язків

_____________________________________________

а = -1

_____________________________________________________________________

а = 0

____________________________________________________________________

а = 1

___________________________________________________________________________

-1< а < 1, а ≠ 0

____________________________________________________________________________

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання.

оскільки то рівняння не має розв’язків.

Маємо Значення arccos ¼ не можна знайти точно, а лише наближено (наприклад, за допомогою калькулятора). Розв’язуючи прикладні задачі, значення arccos ¼ ≈ 1,3181 і записують розв’язок наближено:

У математиці ж залишають такий розв’язок:

Рівняння tg t = а.

Множину розв’язків рівняння tgt = а, де а — будь-яке число записують у вигляді:

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання.

Поділимо ліву і праву частину рівняння на 2, маємо Цю відповідь прийнято записувати у вигляді:

Рівняння сtgt = а.

Множину розв’язків рівняння сtgt = а, де а — будь-яке число записують у вигляді:

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання.

Оскільки необхідно знайти кут х такий, що котангенс кута

х + 20° дорівнює 1, то х — кут у градусах. Тому формулою для запису множини розв’язків треба користуватися в іншому вигляді:

Отже,

3. Розв'яжіть самостійно

1. Розв’язати рівняння:

2. Установіть відповідність між рівнянням (1-3) та його розв’язками (А-Г).

3. Установіть відповідність між рівнянням (1-3) та його розв’язками (А-Г).

01.11.2022 група №7 алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Найпростіші тригонометричні рівняння

1.Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=veTWz-lvU1w

2.Законспектуйте і вивчіть

Арксинус і арккосинус числа.

Арксинусом числа а, де |а| ≤ 1, називають таке число (кут) із проміжку

[- π/2; π/2], синус якого дорівнює а.

Позначають арксинус числа а так arcsin a. З означення слідує, що

arcsin а = φ тоді і тільки тоді, коли:

Приклад 1.

Арккосинусом числа а, де |а| ≤ 1, називають таке число (кут) із проміжку [0;π], косинус якого дорівнює а.

Позначають арккосинус числа а так arccos а. З означення слідує, що arccos а = φ тоді і тільки тоді, коли:

Приклад 2.

таблиця значень arcsin а і arccos а для деяких значень а

x	*arcsin x*		*arccos x*
	град.	рад.	град.	рад.
– 1	– 90°	– $frac{pi}2$	180°	π
– $frac{sqrt{3}}2$	– 60°	– $frac{pi}3$	150°	$frac{5pi}6$
– $frac{sqrt{2}}2$	– 45°	– $frac{pi}4$	135°	$frac{3pi}4$
– $frac{1}2$	– 30°	– $frac{pi}6$	120°	$frac{2pi}3$
0	0°	0	90°	$frac{pi}2$
$frac{1}2$	30°	$frac{pi}6$	60°	$frac{pi}3$
$frac{sqrt{2}}2$	45°	$frac{pi}4$	45°	$frac{pi}4$
$frac{sqrt{3}}2$	60°	$frac{pi}3$	30°	$frac{pi}6$
1	90°	$frac{pi}2$	0°	0

Арктангенс і арккотангенс

Арктангенсом числа а, де а - будь-яке число, називають таке число (кут) із проміжку (-π/2; π/2), тангенс якого дорівнює а.

Позначають арктангенс числа а так аrсtgа. З означення слідує, що

arсtgа = φ тоді і тільки тоді, коли:

Приклад 1.

Арккотангенсом числа а, де а - будь-яке число, називають таке число (кут) із проміжку (0;π), котангенс якого дорівнює а.

Позначають арккотангенс числа а так аrссtgа. З означення слідує, що arcсtga = φ тоді і тільки тоді, коли:

Приклад 2.

таблиця значень аrсtgа і аrссtgа для деяких значень а

x	*arctg x*		*arcctg x*
	град.	рад.	град.	рад.
– ∞	– 90°	– $frac{pi}2$	180°	π
–	– 60°	– $frac{pi}3$	150°	$frac{5pi}6$
– 1	– 45°	– $frac{pi}4$	135°	$frac{3pi}4$
– $frac{1}{sqrt3}$	– 30°	– $frac{pi}6$	120°	$frac{2pi}3$
0	0°	0	90°	$frac{pi}2$
$frac{1}{sqrt3}$	30°	$frac{pi}6$	60°	$frac{pi}3$
1	45°	$frac{pi}4$	45°	$frac{pi}4$
	60°	$frac{pi}3$	30°	$frac{pi}6$
+ ∞	90°	$frac{pi}2$	0°	0