11.10.2022  група №7  алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Тригонометричні функції числового аргументу

1. Законспектуйте і вивчіть

Область визначення.

Областю визначення синуса і косинуса є множина всіх дійсних чисел. Областю визначення тангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел 

Областю визначення котангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел 

                                   Область значень.

Областю значень синуса і косинуса є проміжок [-1;1].

Областю значень тангенса і котангенса є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 1. Чи існує таке значення х, при яких виконується рівність:

Розв’язання. 1) Оскільки  то існує таке значення х, при якому 

2) Оскільки - < -1, то не існує значення х, при якому соsx = -.

Приклад 2. Знайдіть область значень функції:

Розв’язання. 1) Маємо -1 ≤ cos x ≤ 1. Віднімемо від усіх частин цієї подвійної нерівності число 3. Маємо  тобто  Отже, областю значень функції є проміжок [-4;-2].

2) Зрозуміло, що sin² x ≥ 0. 3 іншого боку  Додамо до усіх частин цієї нерівності число 1. Маємо  тобто  

Отже, областю значень функції є проміжок [1;2].

 Знаки тригонометричних функцій по чвертях.

Синус кута а є ординатою точки Р _α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та II чвертях у > 0, а у III та IV чвертях у < 0. Тому sin α > 0, якщо α — кут І або II чверті, і sin α < 0, якщо α — кут III або IV чверті.

Косинус кута α є абсцисою точки Р _α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та IV чвертях х > 0, а у II та III чвертях х < 0. Тому cos α > 0, якщо α — кут І або IV чверті, і cos α < 0, якщо α — кут II або III чверті.

Оскільки  то tg α і сtgα залежать від знаків sin α і cos α. У І та III чвертях sin α і cos α мають однакові знаки, а у II та IV чвертях різні. Тому tg α > 0 і сtgα > 0, якщо α — кут І або III чверті, і tg α < 0 і сtgα < 0, якщо α — кут II або IV чверті.

Знаки тригонометричних функцій у кожній з чвертей подано на малюнку 21.

Приклад. Порівняти з нулем: 1) соs152°; 2) tg 3 ∙ sіn4.

Розв’язання. 1) Оскільки 152° — кут II чверті, то соs152° < 0.

2) 3 радіани ≈ 3 ∙ 57° = 171°, тому 3 радіани — кут II чверті і tg3 < 0.

4 радіани ≈ 4 ∙ 57° = 228°, тому 4 радіани — кут III чверті і sіn4 < 0. Остаточно маємо tg 3 ∙ sіn4 > 0.

Парність і непарність тригонометричних функцій.

Косинус — функція парна; синус, тангенс і котангенс — непарні:

Приклади.

Періодичність тригонометричних функцій.

Періодом функцій косинус і синус є 360° (2π радіан), а функції тангенс і котангенс — 180° (π радіан).

У вигляді формул це можна записати наступним чином:

для кута α у радіанах

Зважимо, що в усіх формулах k — ціле число, а у формулах для тангенса і котангенса розглядаються лише допустимі значення α і х.

Приклади.

2. Виконайте вправи в зошиті

У завданнях 1 і 2 виберіть правильну відповідь.

1. Знайдіть радіанну міру кута, градусна міра якого становить 120°.

2. Яка з наведених нерівностей неправильна?

А. sin189° < 0.

Б. cos137° < 0.

В. tg194° < 0.

Г. ctg144° < 0.

3. Установіть відповідність між кутом (1-3) і координатною чвертю (А-Г), у якій розміщена точка Р(1;0), отримана внаслідок повороту на цей кут.

4 (3 бали). Укажіть два значення х, при яких:

1) sin х = 0;

2) cos х = -1;

3) sin х = 1.

5 (4 бали). Знайдіть значення виразу