24.10.2022    група  №14    факультатив

Тема уроку: Геометричний зміст визначеного інтеграла

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=wP4XTjNiGCI

2. Законспектуйте і запам'ятайте

Геометричний зміст ви значеного інтеграла

Площам криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку (а; b] функції f(х), віссю Ох та прямими х = а, х = b) обчислюється за формулою S =  (рис. 1).

Рис. 1

Фізичний зміст визначеного інтеграла

Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює

,

де v (t) — швидкість руху (рис. 2).

Рис. 2

Площа фігури

Якщо на заданому проміжку [а; b] неперервні функції у = f(х) і у = g (x) мають властивість f(x) ≥ g(x) для всіх х є [а; b], то S =  - g(x))dx (рис. 3).

Рис. 3

Обчислення площ

Приклад 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х² і у = -х + 2.

Розв’язання

Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти (див. рис. 8). Для знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:

x² = -х + 2; x² + х - 2 = 0; х = -2 або х = 1.

Тоді S =  — x²)dx =  = - -  + 2 — ( — 2 - 4) = - + 1,5 + 6 = 7,5 — 3 = 4,5.

Відповідь: 4,5.

Рис. 8

Об’єм тіла обертання

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [а; b] функції y = f(x) та прямими х = а і х = b (рис. 9), дорівнює

V = .

Рис. 9

Приклад 2. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури. обмеженої синусоїдою у = sin x та прямими x = 0 і х =  (рис. 10).

Розв’язання

Рис. 10

Відповідь: .