28.10.2022 група № 14 геометрія (повторення)
Тема уроку: Трикутники та їх елементи
1. Повторіть теоретичний матеріал, законспектуйте і вивчіть
Трикутник
Трикутник — це геометрична фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і відрізків, які з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки — його сторонами. На рис. 1 зображено трикутник із вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Цей трикутник позначається так: ∆АВС.
Кути CAB, ABC, АСВ називаються кутами трикутника. Найчастіше їх позначають однією буквою: ∠A, ∠B, ∠C. Сторону ВС і кут А трикутника ABC називають протилежними. Протилежними є також cтopона АC і кут В, сторона АВ і кут С. Кути А і С, В і С, А і В називаються прилеглими до сторін АС, ВС, АВ.
Периметром трикутника називають суму довжин трьох сторін трикутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, СА і АВ — відповідно, через а, b, с (рис. 2), то
Р = а + b + с.
Рис. 1
Рис. 2
Теорема. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто c < a + b, a < c + b, b < a + c (рис. 2).
Види трикутників
Залежно від довжин сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.
Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім (рис. 3).
Трикутник, який має дві рівні сторони, називають рівнобедреним (рис. 4). Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона — основою трикутника. На рис. 4 ∆ABC — рівнобедрений, у нього АВ = ВС, тобто АВ, ВС— бічні сторони, АС — основа.
Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильніш (рис. 5). У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.
Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.
Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі (рис. 6).
Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут (рис. 7). Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони — катетами. На рис. 7 сторона АС — гіпотенуза, сторони АВ і ВС— катети.
Тупокутним називаєтеся трикутник, у якого є тупий кут (рис. 8).
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Висоти, бісектриси і медіани трикутника
Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений із його вершини до прямої, яка має протилежну сторону. На рис. 9 відрізок BD — висота відповідно гострокутного (рис. 9, а), тупокутного (рис. 9, б) і прямокутного (рис. 9, в) трикутників.
Рис. 9
Рис. 10
Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці (рис. 10).
Медіаною трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Нарис. 11 ВМ—медіана трикутника АВС.
Медіани трикутника перетинаються в одній точці (рис. 12), яка називаєтеся центрам мас трикутника.
Бісектрисою трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину кута і точку протилежної сторони й ділите кут навпіл. На рис. 13 BL — бісектриса трикутника ABC.
Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці (рис. 14). яка є центром кола вписаного в трикутник.
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Середня лінія трикутника
Середньою лінією трикутника називають відрізок, який з’єднує середини двох його сторін. На рис. 15 MN— середня лінія.
Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
На рис. 15 MN ⊥ АС, MN = 
АС.
Рис. 15
Поняття про рівність фігур
Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто будь-які дві точки А і В однієї фігури F переводяться в точки А1 і В1 другої фігури F1 так, що
AВ = A1В1 (рис. 16).
Дві фігури F1 і F2 називаються рівними, якщо вони рухом переводяться одна в одну.
Запис F = F1 означає, що фігура F дорівнює фігурі F1.
Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої та поворот площини навколо точки є рухами.
Рис. 16
На рис. 17 зображено рівні трикутники ABC і А1B1С1. Рівність трикутників позначається так: ∆АВС = ∆А1В1С1.
Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого. На рис. 24 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1, AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1.
На рисунку рівні відрізки позначаються рівною кількістю рисок, а рівні кути — однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні куга, а проти рівних кутів — рівні сторони.
Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними) Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 18).
Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)
Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники — рівні (рис. 19).
Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)
Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 20).
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:
1) два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;
2) катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому кугу друг ого трикутника;
3) гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;
4) гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.
Властивості рівнобедреного трикутника
Рівнобедрений трикутник має такі властивості.
1. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні. На рис. 21 АВ = ВС, тобто ∆АВС — рівнобедрений, отже, ∠A = ∠C.
2. У рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є і бісектрисою, і висотою.
Рис. 21
3. У рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є і бісектрисою, і медіаною.
4. У рівнобедреного трикутника бісектриса, проведена до основи, є і висотою, і медіаною.
На рис. 22 у ∆ABC (АВ = ВС) відрізок BD є і медіаною (AD = DC), і висотою (BD ⊥ АС), і бісектрисою (∠ABD = ∠CBD).
Рис. 22
Ознаки рівнобедреного трикутника
Якщо в трикутнику:
1) два кути рівні,
2) медіана і висота збігаються,
3) медіана і бісектриса збігаються,
4) висота і бісектриса збігаються, то він є рівнобедреним.
2. Розв'язти приклади ЗНО -2022
3. Виконати тести
Укажіть ПРАВИЛЬНЕ твердження.
Укажіть НЕПРАВИЛЬНЕ твердження.
На рисунку 1 зображено паралельні прямі a і b та січні с і d. Знайдіть градусну міру кута α, якщо β = 135°, γ=150°.
Укажіть НЕПРАВИЛЬНЕ твердження.
У рівнобедреному прямокутному трикутнику з гіпотенузою 4√2точка М є серединою одного з катетів, а точка N - серединою гіпотенузи. Знайдіть довжину відрізка MN.
У прямокутному трикутнику градусна міра одного з гострих кутів дорівнює 25°. Знайдіть градусну міру іншого гострого кута цього трикутника.
Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутного трикутника з катетами, які дорівнюють 6 і 8.
Знайдіть площу (у см2) прямокутного трикутника, якщо радіус кола описаного навколо нього, дорівнює 5 см, а один із катетів - 6 см.
Медіана, проведена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює 2,5 см, а один із катетів дорівнює 4 см. Обчисліть довжину другого катета.
У рівносторонньому трикутнику висота дорівнює √3 см. Обчисліть довжину сторони трикутника.
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 см, а один із катетів 12 см. Знайдіть периметр трикутника.
Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC) становить 130°. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута B.
Немає коментарів:
Дописати коментар