26.10.2022      група  №9     геометрія

Тема уроку:   Паралелепіпед

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=h61mYfXbwSw

2. Законспектуйте та вивчіть

Паралелепіпедом називають призму, основою якої є паралелограм.

У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.

Оскільки паралелепіпед є призмою, то всі властивості призми справедливі і для паралелепіпеда.

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площин основи, називають прямим паралелепіпедом. Його бічні грані - прямокутники. На малюнку 459 зображено прямий паралелепіпед.

Якщо ж бічні ребра паралелепіпеда не перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називають похилим. На малюнку 460 зображено похилий паралелепіпед.

Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називають протилежними гранями. На малюнку 460 протилежними гранями є грані АВСD і А ₁В ₁C ₁D ₁, АВВ₁А₁ і СDD ₁С ₁, АА ₁D ₁D і ВВ₁С ₁С.

Розглянемо властивості паралелепіпеда.

1) Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

Приклад 1. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 10 см і 17 см, а одна з діагоналей основи 21 см. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 29 см. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Розв’язання. 1) Нехай а = 10 см і b = 17 см - сторони основи; d ₁ = 21 см - діагональ основи. За властивістю діагоналей паралелепіпеда:  звідси  Оскільки < 21, то більшою діагоналлю паралелепіпеда є та, проекцією якої на площину основи є діагональ основи з довжиною 21 см.

2) (мал. 459) АС = 21 см; А ₁С = 29 см.

3) Оскільки прямий паралелепіпед є видом прямої призми, то площу бічної поверхні S _біч прямого паралелепіпеда можна знайти за формулою S _біч = Рl, де Р - периметр основи, l - довжина бічного ребра.

Р = 2(10 + 17) = 54 (см). S _біч = 54 ∙ 20 = 1080 (см²)

Приклад 2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі ромба. Знайти об’єм паралелепіпеда. 

Розв’язання. 1) Розв’язання. 1) Нехай АВСDА₁В₁С₁ D ₁ - заданий в умові паралелепіпед;  АВСD - ромб; АВ = 4 см; 

 BAD = 60° (мал. 461).

 

2) Площа основи 

3) ∆АВБ - рівносторонній; BD = АВ = 4 см.

4) В ∆АВС:  АВС = 90° , за теоремою косинусів:

5) Оскільки ВD < АС, то В ₁D - менша діагональ паралелепіпеда.

7) Тоді об’єм 

Прямокутним паралелепіпедом називають прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник (мал. 462).

Зауважимо, що всі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками, всі двогранні кути прямими.

Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називають вимірами (або лінійними вимірами) прямокутного паралелепіпеда. Зрозуміло, що в даному прямокутному паралелепіпеді чотири ребра мають довжину а, чотири - довжину b; чотири - довжину с.

На практиці часто замість слова «виміри» відносно прямого паралелепіпеда вживають слова «довжина», «ширина», «висота».

Важливими властивостями прямокутного паралелепіпеда є наступні.

1) Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Якщо позначити діагональ В ₁D = d, то маємо формулу

2) Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Крім відомої формули, для знаходження площі повної поверхні S _пов прямокутного паралелепіпеда з вимірами а, b, с можна використовувати формулу

Приклад 1. Довжини основ прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 2 см і 3 см, а діагональ - 7 см. Знайти площу повної поверхні паралелепіпеда.

Розв’язання. 1) а = 2 см; b = 3 см; d = 7 см.

Маємо 

2) Тоді S _пов = 2(2 ∙ 3 + 2 ∙ 6 + 3 ∙ 6) = 72 (см²).

Прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні, називають кубом.

Всі грані куба - рівні один одному квадрати.

Якщо куб має ребро довжиною а, то його повну поверхню S _пов та об’єм V можна знайти за формулами 

Приклад 2. Відро вміщує 9 л води. Скільки відер води необхідно, щоб заповнити скляний куб з ребром 50 см. (округлити до цілих)?

Розв’язання. 1) 9 л = 9 дм³; 50 см = 5 дм.

2) Об’єм куба V = 5³ = 125 (дм³).

 3) Тоді для заповнення скляного куба необхідно: 

3. Розв'яжіть задачі

1) У прямокутному паралелепіпеді виміри дорівнюють 3см, 4см та 5 см. Чому дорівнює діагональ цього паралелепіпеда?

2) Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см і 6 см.

    3)    Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см і 12 см, а діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 450.

Знайти бічне ребро паралелепіпеда.

  4)   Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 2 см²; 

3 см²і 6 см². Знайти площу повної поверхні паралелепіпеда.

   5) Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 6 см і 8 см, а висота - 3 см. Знайти площу діагонального перерізу паралелепіпеда.