20.10.2022 група   №9   алгебра і початки аналізу

Тема уроку:Точки екстремуму

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=ArWs0aJ3rvk

2. Законспектуйте в зошиті

Теорема 3. Якщо функція y=f(x) має екстремум в точці x=x0, тоді в цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або не існує.

Теорема 4 (достатні умови екстремуму). Нехай функція y=f(x) неперервна на проміжку X і має всередині проміжку стаціонарну або критичну точку x=x0. Тоді:

а ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при x<x0 виконується нерівність f'(x)<0, а при x>x0 — нерівність f'(x)>0, тоді x=x0 — точка мінімуму функції y=f(x));

б ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при x<x0 виконується нерівність f'(x)>0, а при x>x0 — нерівність f'(x)<0, тоді x=x0 — точка максимуму функції y=f(x)) ;

в) якщо у цієї точки існує такий окіл, що в ньому і ліворуч і праворуч від точки x0 знаки похідної однакові, тоді в точці x0 экстремума немає.

Для зручності домовимося внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю, називати стаціонарними, а внутрішні точки області визначення функції, в яких функція неперервна, але похідна не існує, — критичними.

Отже, щоб визначити екстремуми (мінімуми і максимуми) функції f(x), спочатку потрібно знайти критичні точки, в яких  f'(x)=0 або ж похідна не існує (і які належать області визначення функції). Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак. (Критичні (стаціонарні) точки ділять реальну числову пряму на інтервали з незмінним знаком похідної. Щоб визначити знак похідної, достатньо обчислити значення похідної функції в будь-якій точці відповідного інтервалу).

Алгоритм дослідження неперервної функції y=f(x) на монотонність і екстремуми:

1. знайти похідну f'(x).

2. знайти стаціонарні та критичні .

3. відзначити стаціонарні та критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на одержаних проміжках.

4. спираючись на теореми 1, 2 і 4, зробити висновки про монотонність функції і про її точки екстремуму.

Отже: якщо похідна функції в критичній точці:

1) змінює знак з від'ємного на додатний, тоді це точка локального мінімуму;
2) змінює знак з додатного на від'ємний, тоді це точка локального максимуму;
3) не змінює знак, тоді в цій точці немає екстремуму.

 

Приклад:

Знайти екстремуми функції f(x)=x2x−1.

Похідна цієї функції - f'(x)=x(x−2)(x−1)2, отже, критичні точки функції, це x=0 і x=2. Точка x=1 не належить області визначення функції.

Вони ділять реальну числову пряму на чотири інтервали: (−∞;0)∪(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞). Знак першого інтервалу додатний (наприклад, f(−1)=0.75). Другого - від'ємний, третього - від'ємний, четвертий - додатний.

(−∞;0)	(0;1)	(1;2)	(2;+∞)
+	-	-	+

 

Отже, похідна змінює знак тільки в точках x=0 і x=2.
У точці x=0 вона змінює знак з додатного на від'ємний, отже, це точка локального максимуму зі значенням функції f(0)=0.
У точці x=2 вона змінює знак з від'ємного на додатний, отже, це точка локального мінімуму зі значенням функції f(2)=4.

3. Розв'яжіть приклади

Приклад 1.Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х3 – 3х.

Розв'язання

Область визначення даної функції — R.

Знайдемо f`(x): f`(x) = (x3 - 3x)' =3х2- 3.

Похідна існує для всіх x є R.

Знайдемо стаціонарні точки: f(x) = 0, 3х2 - 3 = 0, х2 — 1 = 0, x = ±1.

Наносимо область визначення та стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 48) і визначимо знак похідної на кожному проміжку:

f`(-2) = 3 · (-2)2 - 3 = 9 > 0;

f`(0) = 3 · (0)2 - 3 = -3 < 0;

f`(2) = 3 · (2)2 - 3 = 9 > 0.

Точка χ = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1.

Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin = 1.

Відповідь: хmax= -1, хmin= 1.

Приклад 2. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 - 4х3.

Розв'язання

Область визначення функції — R.

Знайдемо похідну:

f`(x)= (x4 – 4х3) = 4x3 – 12х2 = 4x2(х – 3).

Знайдемо стаціонарні точки: f`(x) = 0, 4x2(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.

Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кожному інтервалі.

x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: хmin= 3.

Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.

Отже, уmin = f(3) = 34 – 4 · 33 = – 27.

Відповідь: уmin = f(3) = – 27.

4. Виконайте тести

Запитання 1

Знайдіть критичні точки функції f(x) = х3 - 3х

варіанти відповідей

 

0; 3

 

 

-1;1

 

 

0;-3;3

 

 

√3;0;√3

Запитання 2

Знайдіть точки екстремуму функції: f(x)=2x3-3x2-12x

варіанти відповідей

 

xmax=2; xmin=-1

 

 

xmax=-2; xmin=1

 

 

xmax=-1; xmin=2

 

 

xmax=1; xmin=2

Запитання 3

Знайдіть точки екстремуму функції: f(x)=2x2-x4

варіанти відповідей

 

xmax=-2; xmin=0; xmax=1

 

 

xmax=-1; xmin=0; xmin=1

 

 

xmin=-1; xmax=0; xmax=1

 

 

xmax=-1; xmin=0; xmax=1

Запитання 4

Знайдіть точки екстремуму функції: f(x)=(x2-x+4)/(x-1)

варіанти відповідей

 

xmin=-1; xmax=3

 

 

xmin=-1; xmax=-3

 

 

xmax=-1; xmin=3

 

 

xmax=1; xmin=-3

Запитання 5

Знайдіть екстремуми функції: f(x)=x4-8x2+5

варіанти відповідей

 

xmax=0; xmin=2

 

 

ymin=-11; ymax=0; ymin=11

 

 

ymin=-11; ymax=0

 

 

ymin=-11; ymax=5

Запитання 6

Функція y=f(x) диференційовна на множині дійсних чисел. На рисунку зображено графік її похідної y=f'(x). Укажіть точки максимуму і мінімуму функції.

варіанти відповідей

 

xmin=-5; xmin=4; xmax=1; xmax=6

 

 

xmin=-5; xmin=3; xmax=-2; xmax=5

 

 

xmin=-5; xmin=4; xmax=1; xmax=5

 

 

xmin=-7; xmin=-5; xmax=0; xmax=6

Запитання 7

На рисунку зображено графік функції y=f(x) визначеної на множині всіх дійсних чисел. Які із заданих нерівностей є правильні?

варіанти відповідей

 

f'(-3)=0

 

 

f'(-2)=0

 

 

f'(1)=0

 

 

f'(3)=0

Запитання 8

Знайти максимум функції у=-12х + х3

варіанти відповідей

 

-2

 

 

-16

 

 

16

 

 

2

Запитання 9

Знайдіть критичні точки функції:f(x)=2x3+2.5x2-x.

варіанти відповідей

 

-1;1/6

 

 

1; -1/6

 

 

-1;-1/6

 

 

1; 1/6

Запитання 10

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:f(x)=х3+3х2-9х

варіанти відповідей

 

Зростає на (-∞; -3] і [-1; +∞), спадає на

[-3;-1]

 

 

Зростає на (-∞; -3] і [1; +∞), спадає на

[-3;1]

 

 

Зростає на (-∞; 9] і [-1; +∞), спадає на

[9;-1]

 

 

Зростає на (-∞; -4] і [-1; +∞), спадає на

[-4;-1]

Запитання 11

Знайдіть мінімум функції f(x)=x+4/x.

варіанти відповідей

 

2

 

 

-2

 

 

4

 

 

-4