01.11.2022     група  №2    факультатив

Тема уроку: Розв'язання задач з теми "Логарифмічні рівняння та нерівності"

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=k48YRLGcjG8

2. Законспектуйте і вивчіть

Рівняння називають логарифмічним, якщо його невідомі входять лише під знаками логарифмів.

Приклади логарифмічних рівнянь:

 тощо.

Розглянемо деякі види логарифмічних рівнянь та методи їх розв’язання.

1. Рівняння log_a х = b, де a > 0, а ≠ 1, b — будь-яке число можна розв’язати використовуючи означення логарифма. Отримаємо: х = а^b.

Аналогічно розв’язуються рівняння, в яких замість х у рівняння входить f(x).

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 

2. Рівняння виду  рівносильне системі  або системі 

Приклад. Розв’яжіть рівняння: lg(х² + 2х - 7) = lg(x - 1).

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі:

Розв’язками рівняння х² + х - 6 = 0 є числа х ₁ = 2; х₂ = -3. Але лише перший з них задовольняє умову х > 1. Отже х = 2 - єдиний корінь початкового рівняння.

Рівняння виду  рівносильне рівнянню 

Приклад. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. Рівняння рівносильне такому 3 ∙ 2^х - 4 = 2^х. Далі маємо 

3. При розв’язуванні більш складних логарифмічних рівнянь можна дотримуватися наступної схеми:

1) Знаходимо ОДЗ рівняння.

2) За допомогою формул логарифмування зводимо рівняння до виду log_af(x) = b або до виду log_af(x) = log_ag(x).

3) Розв’язуємо отримане рівняння.

4) Перевіряємо корені на предмет входження в ОДЗ початкового рівняння та даємо відповідь.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. ОДЗ рівняння знайдемо з системи  тобто х > 0.

Маємо  

ОДЗ рівняння задовольняє лише перший корінь. Отже, х = 0,5 — єдиний корінь рівняння.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. ОДЗ рівняння знайдемо із системи 

Домножимо ліву і праву частини рівняння на 2, щоб позбутися дробів:

Використаємо формулу логарифмування:

Тоді  x₁ = 10; х₂ = -2. ОДЗ рівняння задовольняє лише перший корінь. Отже, x = 10 — єдиний корінь рівняння.

4. Часто логарифмічні рівняння зводяться до алгебраїчних заміною log_a f(х) = t.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Заміна  Маємо 

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Маємо  Заміна log ₂₇x = t. Тоді

1) t ₁ = -1; log ₂₇x = -1; х = 27^-1 ; х₁= 1/27.

2) t ₂= 2/3; log ₂₇ х = 2/3; х = 27^2/3 ; x ₁ = (З³)^2/3 ; х₂ = 9.

Отже, 

__________________________________________________

При розв’язуванні нерівностей виду log_ax ≥ b, log_ax > b, log_ax ≤ b, log_ax < b можна користуватися наступними принципами:

1) якщо а > 1, то при переході до нерівності-неслідну знак нерівності залишимо без змін; якщо 0 < а < 1, то знак нерівності змінюємо на протилежний.

2) якщо в отриманій нерівності-неслідну є гарантія виконання ОДЗ: х > 0, то отриману нерівність нічим не доповнюємо; якщо такої гарантії немає, то доповнюємо дану нерівність умовою

 х > 0.

Покажемо (у вигляді схеми) як дані принципи використовуються, наприклад, при розв’язуванні нерівності log_a х > b.

log_ax ≥ b a > 0, a ≠ 0, b – будь-яке число

0 < а < 1	а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний 0 < x ≤ ab	Знак нерівності не змінюється x ≥ ab

Аналогічно розв’язуються нерівності, у яких замість х, у нерівність входить f(x).

Приклад. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання.

Подамо метод розв’язування нерівності log_af(x) ≥ log_ag(x) у вигляді таблиці:

log_af(x) ≥ log_ag(x)

0 < а < 1	а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний	Знак нерівності не змінюється

Нерівність виду log_a f(x) > log_a g(x) розв’язується аналогічно.

Приклад. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Оскільки 0 < 1/3 < 1, то знак нерівності змінюємо на протилежний х – 2 ≤ 2х - 3. Крім того треба врахувати х – 2 > 0 (тоді умова 2х - 3 > 0 буде виконуватися автоматично). Отже, нерівність рівносильна системі:

2) Оскільки 7 > 1, то знак нерівності не змінюємо х² - 2 > х. Крім того треба врахувати х > 0 (умова х² - 2 > 0 виконується автоматично).

Отже, маємо:

Розв’язки першої нерівності: х < -1 і х > 2 (мал. 49 — схема вгорі). Враховуючи х > 0, маємо розв’язки: х > 2.

Отже, розв’язком початкової нерівності є множина: х > 2.

При розв’язуванні більш складних логарифмічних нерівностей використовуємо прийоми розв’язування логарифмічних рівнянь та принципи за якими розв’язуються найпростіші логарифмічні нерівності.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання. Область допустимих значень знайдемо із системи:

На цій області визначення маємо (х - 1)(х + 5) < 3. Оскільки 3 > 1, то знак нерівності не змінюємо: (х - 1)(х + 5) < 3³.

При х > 1 умова (х - 1)(х + 5) > 0 виконується автоматично.

Маємо 

Звідки -8 < х < 4 (мал. 50 — схема вгорі). Необхідно врахувати область визначення: х > 1 (мал. 50 — схема внизу).

Відповіддю до початкової нерівності є переріз множин -8 < х < 4 і х > 1, тобто 1 < х < 4.

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання. Заміна  Тоді t² – 2t – 3 ≥ 0, звідки t ≤ -1 або t ≥ 3 (мал. 51). Маємо:

Отже, розв’язками початкової нерівності є об’єднання множин х ≥ 2 і            

3. Виконайте тест

Запитання 1

Розв'язати рівняння: log42х=1.

варіанти відповідей

 

4

 

 

1

 

 

2

 

 

−2

 

 

−1

Запитання 2

Розв'язати рівняння: log2(х−15)=4.

варіанти відповідей

 

30

 

 

32

 

 

31

 

 

30,5

 

 

29

Запитання 3

Вказати число, яке є коренем рівняння: lg(x−1)=2lg3

варіанти відповідей

 

9

 

 

8

 

 

6

 

 

9,5

 

 

10

Запитання 4

При якому значенні х log√5x=2?

варіанти відповідей

 

4

 

 

2

 

 

5

 

 

−2

 

 

3

Запитання 5

При якому значенні х log1/3(5−2х)=−2?

варіанти відповідей

 

−2

 

 

3

 

 

2

 

 

−1

 

 

0

Запитання 6

Розв'язати рівняння: ln(х−1)=ln3

варіанти відповідей

 

3

 

 

4

 

 

2

 

 

5

 

 

−4

Запитання 7

Розв'язати нерівність: log42x ≥ 2.

варіанти відповідей

 

x∊[16;+∞)

 

 

x∊(−∞;16]

 

 

x∊(0;16]

 

 

x∊[8;+∞)

 

 

x∊[4;+∞)

Запитання 8

Розв'язати нерівність: log5(3x+1)>2

варіанти відповідей

 

x∊(−∞;2)

 

 

x∊(2;8)

 

 

x∊(8;+∞)

 

 

x∊(−∞;6)

 

 

x∊(2;6)

Запитання 9

Розв'язати нерівність: 

варіанти відповідей

 

x∊(−∞;6)

 

 

x∊(2,5;6)

 

 

x∊(−1;2,6)

 

 

x∊(6;+∞)

 

 

x∊(−1;6)

Запитання 10

Розв'язати нерівність: log3(x−1)≤2

варіанти відповідей

 

x∊(1;+∞)

 

 

x∊ (10;+∞)

 

 

x∊(1;10]

 

 

x∊(−∞;1]

 

 

x∊(−∞;10]