31.10.2022 група  №14          геометрія (повторення)

Тема уроку: Чотирикутники і многокутники

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=f1AQr-rbGM4

2. Законспектуйте і вивчіть

Паралелограм та ного властивості

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

На рис. 1 чотирикутник ABCD — паралелограм, оскільки А В || CO, AD || ВС. Властивості паралелограма У паралелограма (рис. 1):

1. Протилежні сторони рівні (АВ = CD, AD = ВС).

2. Протилежні кути рівні (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).

3. Діагоналі точкою перегину діляться навпіл (АО = ОС, BO = OD).

Рис. 1

4. Кожна діагоналі, розбиває паралелограм на два рівних трикутники (∆ВС = ∆CDA, ∆АBD = ∆CDB)

5. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180° (∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠D + ∠A = 180°).

6. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін: АС² + BD² = АВ² + ВС² + CD² + AD² або АС² + BD² = 2(АВ² + ВО²). Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї сторони на пряму, що містить протилежну сторону (або відстань між протилежними сторонами).

На рис. 2 MN і ВК — висоти.

Рис. 2

Ознаки паралелограма

1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотири кутник — паралелограм.

Якщо АО = ОС, ВО = OD (рис. 1), то ABCD — паралелограм.

2. Якщо в чотирикутника дві сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Якщо А В || CD, АВ = CD (або AD || ВС, AD = ВС), то ABCD — паралелограм (рис. 1).

3. Якщо в чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Якщо АВ = CD і ВС = AD (рис. 1), то ABCD — паралелограм.

Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості

Прямокутникам називають паралелограм, у якого всі кути прямі.

На рис. З паралелограм ABCD — прямокутник, оскільки ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Рис. 3

Ознаки прямокутника

1. Якщо у паралелограма один із кутів прямий, то цей паралелограм — прямокутник.

2. Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм прямокутник.

Властивості прямокутника

Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діагоналі прямокутника рівні.

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

На рис. 4 паралелограм ABCD — ромб, оскільки АВ = ВС = CD = DA.

Рис. 4

Ознаки ромба

1. Якщо у паралелограма діагоналі перпендикуляри і, то такий паралелограм — ромб.

2. Якщо у чотирикутника сторони рівні, то такий чотирикутник — ромб. Властивості ромба

Ромб має всі властивості паралелограма, крім того:

1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

На рис. 4 у ромба ABCD AC ⊥ BD.

2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

На рис. 4 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8.

Квадратам називають прямокутник, у якою всі сторони рівні.

Квадратом називають ромб, у якого всі кути прямі (рис. 5).

Властивості квадрата

Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба:

1. У квадрата всі кути прямі і всі сторони рівні.

2. Діагоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом.

3. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ квадрата утворює зі стороною кут 45° (рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Трапецій і а її властивості

Трапецією називаєтеся чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони трапеції називають основами, а непаралельні сторони — бічними. На рис. 1 чотирикутник ABCD— трапеція, оскільки AD || ВС АВ ∦ СD сторони ВС і AD — основи трапеції, АВ і CD — бічні сторони трапеції.

Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї з основ на пряму, що містить другу основу (або відстань між основами трапеції).

Рис. 1

На рис. 2 MN — висота трапеції ABCD.

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції.

На рис. 2KL — середня лінія.

Властивості трапеції

1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.

На рис. 1 A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°.

2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Нарис.2       KL || AD,KL || ВС, KL = .

Рис. 2

Трапецію, у якої бічні сторони рівні, називають рівнобічною (рівнобедреною) трапецією.

На рис. З зображено рівнобічну трапецію ABCD.

Властивості рівнобічної трапеції У рівнобічнім трапеції (рис. 3):

1. Кута при основі рівні: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

2. Діагоналі рівні: АС = BD.

Рис. 3

Прямокутною називають трапецію, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ (рис. 4). Ця бічна сторона є висотою трапеції.

Якщо у рівнобічній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії (рис. 5):

BН = .

Рис. 4

Рис. 5

Коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції (рис. 6).

Висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами (рис. 7):

Рис. 6

Якщо у рівнобічну трапецію вписано коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії (рис. 7):

AB = CD = .

Рис. 7

Властивості чотирикутників

Вписаного в коло (рис. 8) Описаного навколо кола (рис. 9)

∠A + ∠C = 180° = ∠B + ∠D  а + с = b + d

ас + bd = k₁k₂ — теорема Птолемея

S = p ∙ r, де p = 

Рис. 8

Рис. 9

МНОГОКУТНИКИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Основні теоретичні відомості

Ламаною А₁А₂А₃, ... А_n називають фігуру, що складається з точок А₁, А₂, А₃, .... А_n, які називають вершинами ламаної, і відрізків А₁А₂, А₂A₃, ... А_n-A, А_n, які називають ланками ламаної. A₁ і А_n називаються кінцями ламаної.

Ламана називається простою, якщо вона не має точок самоперетину (рис. 1).

На рис. 2 зображено ламану з точкою самоперетину.

Рис. 1

Рис. 2

Ламану називають замкненою, якщо кінці її збігаються (рис. 3).

Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок.

Довжина ламаної не менша від довжини відрізка, що з’єднує її кінці.

Многокутникам називається проста замкнена ламана, сусідні ланки якої не лежать на одній прямій (рис. 3). Вершини ламаної називають вершинами многокутника, а ланки ламаної — сторонами многокутника. Дві вершини многокутника, які належал, до однієї сторони, називають сусідніми. Відрізки, що з’єднують несусідні вершини многокутника, називають діагоналями многокутника.

На рис. 4AC, AD, BF, BD, CF — діагоналі многокутника ABCDF.

Многокутник із n вершинами (із n сторонами) називають n-кутникам. На рис. 4 зображено п’ятикутник.

Рис. 3

Рис. 4

Плоским многокутникам називають, скінченну частину площини, обмежену многокутником (рис. 5).

Многокутник називають опуклім, якщо він лежнів по один бік від кожної прямої, яка містить його сторону.

На рис. 6 чотирикутник ABCD — опуклий, а чотирикутник KLMN — неопуклий.

Рис. 5

Рис. 6

Кутом многокутника при даній вершині називають кут, утворений його сторонами, які сходяться в цій вершині.

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° ∙ (n - 2).

Зовнішнім кутам многокутника при даній вершині називають кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій вершині.

Сума зовнішніх кутів опуклого «-кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

На рис. 7 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Рис. 7

3. Розв'яжіть задачі в зошиті

1. Діагональ паралелограма утворює з двома його сторонами кути 15° і 45°. Знайдіть більший кут паралелограма (у градусах).

2. Знайдіть менший кут паралелограма, якщо сума двох кутів паралелограма дорівнює 120°.

3. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Відомо, що АВ = 2 см, ВС = 4 см, ∆А = 60°. Знайдіть діагональ АС.

4. У коло, діаметр якого дорівнює , вписано чотирикутник ABCD. Знайдіть діагональ BD, якщо ∠BAD = 30°.

5. У паралелограмі ABCD АВ = 32, AD= 14, BD = 42. Знайдіть АС (у см).

6. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Точка К — середина сторони АВ. Відрізок DK перетинає діагональ АС у точці О. Знайдіть відношення довжин відрізків AО : ОС.

7. Знайдіть менший кут паралелограма, якщо різниця двох кутів паралелограма дорівнює 120°.

8. У паралелограмі ABCD АС = 13, AD = 7, BD = 21. Знайдіть АВ.

9. Діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см, а сторони відносяться як 2:3. Знайдіть периметр паралелограма (у см).

10. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6 см і 2 см, а кут між ними 45°. Знайдіть більшу сторону паралелограма (у см).

11. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 12 см. Знайдіть гострий кут ромба (у градусах).

12. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться як 2 : 3, а різниця основ дорівнює 10 см.

13.  Сума довжин двох протилежних сторін описаного навколо кола чотирикутника дорівнює 45 см. Знайдіть периметр цього чотирикутника (у см).

14. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть радіус кола, описаного в трапеції (у см).

15.  Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть більшу основу трапеції (у см), якщо основи відносяться як 1 : 5.

16. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 6 см і 12 см. Обчисліть периметр трапеції, у см.

17. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 3 см і 1 см, а площа трапеції дорівнює 2 см2. Знайдіть гострий кут трапеції (у градусах).

18. Більша основа трапеції дорівнює 18. Знайдіть її меншу основу, якщо відстань між серединами діагоналей дорівнює 4.