математика МПТУ

07.10.2022 група№7 (уроки №18, 19) алгебра і початки аналізу

Тема уроку: синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Радіанне вимірювання кутів

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=B-dkDuYi1Ww

2. Законспектуйте та вивчіть

Градусна та радіанна міра кута

Величину кута можна вимірювати у градусах та його частинах — хвилинах, секундах: 1° = 60'; 1' = 60'. Прямий кут дорівнює 90°, а розгорнутий — 180°.

Крім того у математиці використовують радіанну систему вимірювання кутів.

Кутом в 1 радіан називають центральний кут, якому відповідає довжина дуги, що дорівнює довжині радіуса кола.

Кут, що дорівнює 1 радіану (скорочено «рад»), зображено на малюнку 8; на цьому малюнку AB = R, а томуAOB = 1 рад.

Можна довести, що

Корисно пам’ятати, що

Оскільки

Приклад 1. Знайдіть радіанну міру кута 108°.

Розв’язання. І спосіб (за формулою):

II спосіб (за формулою пропорції):

Приклад 2. Знайти градусну міру кута

Розв’язання. Цей приклад можна розв’язати тими самими способами, що й попередній, але краще замінити π на 180°.

Маємо

Одиничне коло

Розглянемо одиничне коло з центром у початку координат і радіусом 1 (мал. 9). Таке коло називають одиничним колом.

За допомогою одиничного кола зручно ввести означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута (або числового аргумента), тобто тригонометричні функції кута (або числового аргумента).

Кут довільної величини.

Розглянемо одиничне коло. Радіус ОА, де А(1;0) назвемо початковим радіусом (мал. 10).

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки. Тоді радіус ОА займе положення ОВ. Кажуть, що кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° за рухом годинникової стрілки; отримаємо радіус ОС. В цьому випадку кажуть, що кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 10 стрілками показано кути повороту 50° і -50°. Взагалі, при повороті початкового радіусу проти годинникової стрілки, кут повороту вважається додатнім, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 11).

Кут повороту може бути будь-яким дійсним числом. На малюнку 12 показано кути повороту 120° і 170°.

Щоб позначити кут повороту 225°, спочатку повернемо початковий радіус ОА на 180° проти руху годинникової стрілки, а потім ще на 45° в тому самому напрямі (180° + 45° = 225°). На малюнку 13 стрілкою показано кут повороту 225°.

Якщо початковий радіус зробить повний оберт проти руху годинникової стрілки, то кут повороту дорівнюватиме 360° (мал. 14).

На малюнку 15 показано кут повороту -330°, а на малюнку 16 — кут повороту 440°.

Нехай при повороті на кут 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 17). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Таким чином зробимо висновок про те, що радіус ОА переходить в радіус ОВ й при повороті на кути 40° + 360° = 400° і 40° - 360° = -320° та й узагалі при повороті на кут 40° + +360°k, де k — будь-яке ціле число (k Z).

З іншого боку, будь-який кут а можна подати у вигляді α = α₀ + 360°k, де 0 ≤ α₀ < 360°, k — ціле число.

Наприклад: 1100° = 20° + 360° ∙ 3 ; - 640° = 80° + 360° ∙ (-2).

З геометрії відомо, що координатні осі поділяють координатну площину на чотири чверті (мал. 18). Якщо при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, то залежно від того, в якій координатній чверті буде цей радіус, кут а називають кутом цієї чверті.

Приклад. Кутом якої чверті є кут:

1) α = 1999°; 2) β = -2010°.

Розв’язання. 1) Оскільки α = 1999° = 199° + 360° ∙ 5, то α = 1999° — кут III чверті.

2) Оскільки (3 = -2010° = 150° + 360°(- -б), то р = -2010° — кут II чверті.

Тригонометричні функції кута і числового аргументу.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ одиничного кола переходить у радіус ОР_α , де Р_α має координати (х;у) (мал. 19).

Кажуть що куту а відповідає точка Р_α одиничного кола. Тоді:

1) синусом кута α називають ординату точки Р_α(х;у) одиничного кола: sіnα = у ;

2) косинусом кута α називають абсцису точки Р_α(х;у) одиничного кола: соsα = х ;

3) тангенсом кута α називають відношення ординати точки Р_α(х;у) одиничного кола до її абсциси: tg α = y/x (якщо х ≠ 0);

4) котангенсом кута α називають відношення абсциси точки Р_α(х;у) одиничного кола до її ординати: сtgα = x/y (якщо у ≠ 0).

Зауважимо, що α може вимірюватися як у градусах, так і в радіанах.

Дане вище означення тангенса можна замінити рівносильним йому означенням: тангенсом кута α називають відношення синуса цього кута до його косинуса.

Дійсно,

Аналогічно: котангенсом кута α називають відношення косинуса цього кута до його синуса.

Тригонометричні функції деяких кутів.

Виходячи із введених у попередньому пункті означень, знайдемо тригонометричні функції кутів 0°; 90°; 180°; 270°; 360°.

Точка Р_0° (мал. 20) має координати (1;0). Тому sіn0° = 0 ; соs0⁰ = 1; tg0° = 0; сtg0° — не існує.

Точка Р₉_0° (мал. 20) має координати (0;1). Тому sіn90° = 1; соs90° = 0 ; tg90° — не існує; сtg90° = 0.

Точка Р₁₈_0° (мал. 20) має координати ( -1;0). Тому sіn180⁰ = 0; соs180° = -1; tg 180° = 0 ; — не існує.

Точка Р₂₇_0°(мал. 20) має координати (0;-1). Тому sіn270° = -1; соs270° = 0 ; tg270° — не існує; сtg270° = 0.

Точка Р₃₆_0° (мал. 20) має такі самі координати, як і точка Р_0°. Отже, sin360° = sіn0° = 0; соs360° = соs0° = 1; tg360° = tg0° = 0; ctg360° — не існує.

Узагальнимо отримані дані, а також дані про синус, косинус, тангенс і котангенс кутів 30°; 45°; 60°; 120°; 135°; 150° до таблиці.

Для зручності користування подано як градусну міру кута α, так і радіанну.