математика МПТУ

05.10.2022 група №9 алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ. Самостійна робота

1. Законспектуйте і запам'ятайте

Тригонометричні рівняння, які зводяться до найпростіших.

За допомогою алгебраїчних перетворень або формул тригонометрії деякі рівняння можуть бути зведені до найпростіших тригонометричних рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. Оскільки то маємо

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. Використовуючи формулу подвійного кута для спрощення лівої частини рівняння, маємо

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. Спрощуючи ліву частину рівняння, маємо:

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

1. Заміна змінних у тригонометричних рівняннях.

Якщо тригонометричне рівняння містить лише одну тригонометричну функцію з одним і тим самим аргументом, то позначивши цю функцію новою змінною, отримаємо алгебраїчне рівняння відносно цієї змінної.

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Позначимо Маємо рівняння Оскільки |t| ≤ 1, то підходить лише перший корінь. Маємо

2. Зведення тригонометричного рівняння до однієї функції одного того самого аргументу.

Досить часто після використання відповідних тригонометричних формул вдається звести рівняння до однієї функції одного й того самого аргументу, після чого застосувати заміну змінних.

Якщо в рівняння входить лише tgх i сtgx, то після застосування формули сtgx = 1/tg x отримаємо рівняння, що містить лише tg x.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. ОДЗ рівняння складається з усіх значень х, крім тих, для яких cos х = 0 або sin x = 0. На ОДЗ рівняння маємо сtgx = 1/tg x. Запишемо отримане рівняння

та введемо заміну tg x = t. Маємо рівняння коренями якого є числа -1 і -1/2.

Якщо в рівняння входить лише sin x і cos x, причому хоча б одна з функцій тільки у парних степенях (наприклад, sin x), то застосовуємо формулу sin² х = 1 - cos² х з подальшою заміною cos х = t. Аналогічно застосовуємо формулу cos² х = 1 - sin² х, якщо cos х входить у рівняння лише у парних степенях.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки то маємо

Робимо заміну Маємо

Другий корінь не задовольняє рівняння, оскільки |t| ≤ 1.

Отже,

Якщо в тригонометричне рівняння входять лише cos 2х і cos x, то застосовуємо формулу cos 2х = 2 cos² х - 1 і вводимо заміну cos х = t.

Якщо в тригонометричне рівняння входять лише cos 2x і sin х, то застосовуємо формулу cos 2х = 1 – 2 sin² x і вводимо заміну sinx = t.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Маємо заміна

Рівняння має корені з яких лише перший задовольняє умову |t| ≤ 1. Отже,

3. Метод розкладання на множники.

Нехай маємо рівняння f(х) = 0, ліву частину якого вдається розкласти на множники f₁(х) ∙ f₂(x) ∙...∙ f_n (x) = 0. Оскільки добуток кількох множників дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників, то далі необхідно розв’язати кожне з рівнянь f₁(х) = 0; f₂(x) = 0...f_n (x) = 0 і перевірити отримані корені на предмет входження їх в ОДЗ початкового рівняння.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin 2x – 3 cos х = 0.

Розв’язання. ОДЗ рівняння складається з усіх дійсних чисел. sin 2х — sin х cos х. Маємо

Отже, - множина розв’язків початкового рівняння.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння sin 7x – sin 3x = 0.

Розв’язання. ОДЗ: х R. Застосовуємо формулу

Матимемо

4. Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до однорідних.

Тригонометричні рівняння a sin х + b cos х = 0, де а і b — числа, а ≠ 0, b ≠ 0, називають однорідними тригонометричними рівняннями 1-го степеня відносно sin х і cos х.

Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Дійсно у разі cos х = 0 рівняння набуває вигляду a sin x = 0. Оскільки а ≠ 0, то матимемо sin x = 0. Проте sin x і cos x не можуть одночасно дорівнювати нулю.

Поділивши ліву і праву частини рівняння a sin x + b cos x = 0 на cos x ≠ 0, матимемо a tg x + b = 0, після чого закінчуємо розв’язання.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2 sin x – 7 cos x = 0.

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на cos x ≠ 0. Матимемо

Тригонометричне рівняння де а, b, с — числа, з яких хоча б два відмінні від нуля, називають однорідними тригонометричними рівняннями другого степеня відносно sin x і cos x. Сума показників степенів у всіх доданків при sin x і cos x дорівнює двом.

Якщо а ≠ 0, то рівняння (по аналогії з однорідним 1-го степеня) розв’язують, поділивши на cos² х ≠ 0 з подальшою заміною tg x = t. Якщо ж а = 0, то виносимо cos х за дужки та застосовуємо прийом відомий нам з попереднього пункту.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Розділимо ліву і праву частини рівняння на cos² х ≠ 0. Маємо

Заміна tg x = t, маємо

До однорідних можуть зводитися рівняння, які мають зовнішній вигляд, відмінний від зовнішнього вигляду однорідного рівняння. При цьому часто застосовують формули тригонометричних функцій подвійного кута та тотожність

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Застосовуємо формулу sin 2х = 2 sin x cos x і таку тотожність Маємо

Поділимо ліву і праву частини на cos² х ≠ 0. Маємо Заміна tg x = t. Рівняння 3t² —2t — 5 = 0 має корені t₁ = -1; t₂ = 5/3. Тоді

5. Рівняння виду a sin х + b cos х = с.

Розглянемо рівняння a sin x + b cos x = с, де а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 — деякі числа. Є багато способів розв’язування такого рівняння. Покажемо один із них.

За допомогою формул