13.09.2022   група №4    геометрія   (повторення)

Тема уроку:Вимірювання відстаней та кутів у просторі

1.Передивіться відеоуроки

https://www.youtube.com/watch?v=yxd9WTaE-ks

https://www.youtube.com/watch?v=_7JCGlMD25o

2.Повторіть теорію та розгляньте приклади. Основне законспектуйте

Відстань між точками А(х₁; у ₁; z ₁) і В(х ₂; у ₂; z ₂) обчислюється за формулою

Приклад 1. Точки М(0; 3; 5) і N(2; 1; 4) відповідно середини сторін АВ i ВС трикутника АВС. Знайти довжину сторони АС цього трикутника.

Розв’язання. 1) Оскільки М - середина АВ, а N — середина ВС, то МN - середня лінія ∆АВС. Тому 

3) Тоді АС = 2 ∙ 3 = 6.

Приклад 2. Відстань між точками А(х; 3; 4) і B(1; 5; 1) дорівнює 7. Знайти х.

Розв’язання.

2) За умовою АВ = 7, тому АВ² = 49. Отже, (1 - х)² +13 = 49, (1 - х)² = 36, 1 - х = 6 або 1 - х = -6. Звідси х = -5 або х = 7.

Кути між прямими

Як і на площині, у просторі

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих.

Якщо прямі паралельні, то природно вважати, що кут між такими прямими дорівнює нулю.

Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.

Нехай а ₁ і b ₁ - прямі, які перетинаються в точці С і паралельні мимобіжним прямим а і b, а кут між прямими а ₁ і b ₁ дорівнює φ (мал. 437). Тоді кут між прямими а і b також дорівнює φ. Можна довести, що кут між мимобіжними прямими а і b не залежить від вибору точки С. В задачах точку С зручно брати на одній із прямих, наприклад на прямій а, і проводити через цю точку пряму, паралельну прямій b.

Приклад. АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ - куб (мал. 438). Знайти кут між мимобіжними прямими ВС і DС ₁.

Розв’язання. 1) Пряма АD паралельна прямій ВС. Тому шуканий кут буде дорівнювати куту між прямими АD і DС ₁.

2) Оскільки DС  АD, то за теоремою про три перпендикуляри С ₁D  АD.

3) Отже, кут між прямими ВС і DС₁ дорівнює 90°.

Таким чином можна говорити про кут φ між будь-якими двома прямими простору. Очевидно, що цей кут φ задовольняє умові 0° ≤ φ ≤ 90°.

Перпендикулярними можуть бути як прямі, що перетинаються, так і мимобіжні прямі.

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

У розглянутому прикладі прямі ВС і DС ₁ - перпендикулярні.

Кут між прямою і площиною

Якщо пряма паралельна площині або їй належить, то вважають, що кут між такими прямою і площиною дорівнює 0°. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними, природно, вважаємо рівним 90°.

Нехай дано пряму а, що перетинає площину а у точці М і не є перпендикулярною до цієї площини (мал. 439). Основи перпендикулярів, опущених з точок прямої а на площину αb належать прямій b (мал. 439). Цю пряму b називають проекцією прямої а на площину α.

Кутом між площиною і прямою, яка перетинає площину і не є перпендикулярною до площини, називають кут між прямою і її проекцією на площину.

На малюнку 439 кут АМВ є кутом між прямою а і площиною а. Очевидно, що кут φ між прямою і площиною задовольняє умову 0° ≤ φ ≤ 90°.

Аналогічно до кута між прямою і площиною визначається кут між похилою і площиною.

Приклад. З точки до площини проведено похилу завдовжки 12 см. Знайти кут, який утворює похила з площиною, якщо проекція похилої дорівнює 6 см.

Розв’язання. 1) На малюнку 439 похила АМ = 12 см, проекція похилої на площину ВМ = 6 см. Необхідно знайти величину кута АМВ.

Кут між площинами

Якщо дві площини паралельні, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює 0°. Якщо дві площини перетинаються, то воно утворюють чотири двогранні кути зі спільним ребром (мал. 440).

Величину меншого з утворених при перетині двох площин двогранного кута називають кутом між площинами.

Зрозуміло, що кут між площинами φ задовольняє умові 0° ≤ φ ≤ 90°. Якщо φ = 90°, то площини називають перпендикулярними.

Якщо згадати яким чином дається означення лінійного кута двогранного кута, то можна дати інше означення кута між площинами.

Кутом між площинами, що перетинаються, називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину.

На малюнку 441 площини α і β перетинаються по прямій m. В площині α проведено пряму а таку, що а  m, а в площині β пряму b таку, що b  m; прямі а і b перетинаються. Якщо кут між прямими а і b дорівнює φ, то кут між площинами α і β також дорівнює φ.

Приклад. Квадрат ABCD, площа якого дорівнює 9 см², і прямокутник ABCща якого дорівнює 24 см², мають спільну сторону, а кут між їх площинами дорівнює 60°. Знайти відстань між точками D і D ₁. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язання. Оскільки AD  АВ і AD ₁  АВ ₁, то за кут між площинами можна взяти менший із кутів, утворених при перетині прямих AD і AD ₁ (мал. 442). Менший з цих кутів за умовою дорівнює 60°. Тому кут DAD ₁ може дорівнювати 60° або 120°.

Звідси висновок: задача може мати два розв’язки.

4) Якщо  DАD ₁ = 60°, то в ∆АDD ₁ за теоремою косинусів:

Якщо  DАD ₁ = 120°, то 

Отже, відстань між точками D і D ₁ дорівнює 7 см або см.