22.09.2022    група  №2    геометрія

Тема уроку:Розв'язування задач і вправ з теми "Перерізи циліндра і конуса". Самостійна робота

1.Передивіться відеоурок з прикладами розв'язання задач

https://www.youtube.com/watch?v=ZdJZ2jhiNEM

2. Проаналізуйте приклади розв'язання задач і запишіть у зошит

Приклад 1. 

Довжина кола основи циліндра дорівнює 12 π см, а діагональ осьового перерізу - 13 см. Знайти твірну циліндра.

Розв’язання. 

1) Нехай А ₁В - діагональ осьового перерізу циліндра

 (мал. 484); А ₁В = 13 см.

2) Позначимо радіус циліндра - r. Тоді за умовою 2πr = 12π, звідси 2r = 12 (см). Тому АВ = 2r = 12 см.

Приклад 2.

 Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола 

нижньої основи дорівнює 4см   і утворює з площиною основи кут 45°. Знайти площу осьового перерізу циліндра.

 Розв’язання.

 1) Нехай O ₁С - відрізок, що з’єднує центр верхньої основи - точку О₁ з точкою С кола нижньої основи (мал. 485). O ₁С = 4 см.

2) ОС - проекція O ₁С на площину нижньої основи, тому  O ₁CO - кут, що утворює відрізок O ₁С з площиною нижньої основи. За умовою  О ₁СО = 45°.

4) АА ₁В ₁В - осьовий переріз, АА ₁ = ОО ₁ = 4 см;

 АВ = 2 ∙ АО = 4 ∙ 2 = 8 (см).

5) Тому площа діагонального перерізу 

S_{AA 1 B 1 B} = АВ ∙ АА ₁ = 8 ∙ 4 = 32 (см²).

Переріз циліндра площиною, яка є паралельною до площини основ - круг, що дорівнює кругу основи циліндра (мал. 486). Радіус перерізу А₂ O ₂ дорівнює радіусу циліндра АО.

Перерізом циліндра площиною, паралельної осі циліндра є прямокутник. На малюнку 487 прямокутник АА ₁В ₁В - переріз циліндра площиною, паралельної осі циліндра ОО ₁.

Дві його сторони: АА ₁ і ВВ ₁ - твірні циліндра, а дві інші: АВ і А ₁В ₁ - паралельні і рівні хорди основ.

Приклад 3.

 Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу 60º. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а висота - 5 см. Знайти периметр отриманого перерізу.

Розв’язання. 

1) Нехай АВВ ₁А ₁ - переріз, що задано в умові (мал. 487), АО = ОВ = 6 см, АА ₁ = 5 см,  AOB = 60°.

2) Оскільки АО = ОВ, то ∆АОВ - рівнобедрений,  Тому ∆АОВ - рівносторонній, 

АВ = ОА = 6 см.

3) Отже, периметр перерізу Р _{ABB 1 B 1 B}= 2(АА ₁ + АВ) = 2(5 + б) = 22 (см).

Конус

Приклад 1. 

Довжина кола основи конуса дорівнює 4π см. Знайти площу осьового перерізу конуса, якщо він є прямокутним трикутником.

Розв’язання. 

1) Нехай QАВ - осьовий переріз конуса,  BQA = 90° (мал. 490).

2) Позначимо ОВ = ОА = r. За умовою 2πr = 4π, тоді r = 2 см.

3) ∆QАВ - рівнобедрений прямокутний:

Приклад 2. 

Висота конуса дорівнює 9 см, а радіус основи - 6 см. На відстані 3 см від вершини конуса проведено переріз площиною, паралельною до основи конуса. Знайти площу цього перерізу.

Розв’язання. 

1) За умовою задачі OQ = 9 см, АО = 6 см, QО ₁ = 3 см (мал. 491).

2) ∆QА ₁O ₁  ∆QАО (за двома кутами), тоді 

3) Тоді площа перерізу 

Приклад 3.

Через вершину конуса проведено переріз, який нахилений до площини основи під кутом 60°. Знайти висоту конуса, якщо відстань від центра основи хорди, по який переріз перетинає основу, дорівнює 4 см.

Розв’язання.

 1) Нехай QСD - переріз, про який йде мова у задачі (мал. 493).

2) ∆QСD - рівнобедрений, СD - його основа, проведемо QК - висоту і медіану ∆QСD.

3) Оскільки QК  СD і ОК - проекція QК на площину основи, то за теоремою про три перпендикуляри, матимемо ОК  СD.

4) Тоді ОК - відстань від точки О до хорди СD, ОК = 4 см (за умовою).

5) Оскільки QК  СD і ОК  СD, то площина DQК перпендикулярна хорді СD, тому  QКО - кут нахилу перерізу QСD до площини основи. За умовою  QКО = 60°.