26.09.2022    група  №14   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Випадкова подія. Відносна частота події

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=rLZAWR3Ehis

2. Законспектуйте та вивчіть. 

Випадковий дослід і випадкова подія.

Випадковий дослід — це дослід (експеримент, спостереження, випробування),  результат якого залежить від випадку і який можна повторювати багато разів в одних і тих самих умовах.

До випадкових дослідів можна віднести: підкидання монети чи кубика, купівлю лотерейного білета, стрільбу у мішень тощо. Результатом випадкового досліду є випадкова подія.

Випадкова подія — це подія, яка в одних і тих самих умовах може відбутися, а може і не відбутися.

Прикладами випадкових подій є «випадіння шістки при підкидання грального кубика», «випадання герба при підкиданні монети», «виграти 100 грн. при купівлі лотерейного квитка» тощо.

Події «при нагріванні води до 100°, вона кипить», «при нагріванні дроту його довжина збільшується» є закономірними, тому їх не можна називати випадковими.

Випадкові події, як правило, позначають великими латинськими літерами: А, В, С, D,...

Вірогідна подія та неможлива подія.

Подію, яка при даних умовах обов’язково відбудеться називають вірогідною подією.

Приклад вірогідної події: «випадання натурального числа, меншого за 7 при підкиданні грального кубика». Вірогідну подію прийнято позначати буквою U.

Подію, яка при даних умовах не може відбутися називають неможливою подією.

Приклад неможливої події: «випадання натурального числа, більшого за 6 при підкиданні грального кубика». Неможливу подію прийнято позначати буквою V.

Класичне означення ймовірності випадкової події.

Випадок, в результаті якого відбувається подія А, називають випадком, що сприяє появі події А.

Класичне означення ймовірності випадкової події полягає у наступному:

ймовірність випадкової події А дорівнює відношенню кількості випадків m, що сприяють появі події А до кількості всіх можливих випадків n:

Зауважимо, що ймовірність вірогідної події р(U)= 1, а ймовірність неможливої події р(V) = 0.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. В урні 4 білих і 12 чорних кульок. Навмання виймаємо одну з них. Яка ймовірність того, що вона біла (подія А)?

Розв’язання. З урни можна витягти з рівною ймовірністю будь-яку з 4 + 12 = 16 кульок. Тому n = 16. Число випадків, що сприяють появі події А, дорівнює 4, тобто m = 4. Отже, p(a) = 4/16 = 0,25.

Приклад 2. На картках написані натуральні числа від 1 до 18. Навмання витягують одну з карток. Яка ймовірність того, що число, записане на картці, є дільником числа 18 (подія А)?

Розв’язання. Зрозуміло, що n = 18. Натуральними дільниками числа 18 є числа 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Отже, m = 6. Тоді р(А) = 6/18 = 1/3.

Приклад 3. Одночасно підкинули два гральні кубики. Яка ймовірність того, що сума очок, які випали на кубиках: 1) дорівнює 7; 2) більша за 8?

Розв’язання. Складемо таблицю суми очок, що може випасти на двох гральних кубиках при їх одночасному підкиданні, n = 36 — кількість усіх можливих випадків.

Розв’язування задач на підрахунок ймовірностей за допомогою формул комбінаторики.

Часто в задачах на підрахунок ймовірностей використовують формули комбінаторики. Розглянемо приклади.

Приклад 1. На картках записані натуральні числа: від 1 до 15. Навмання вибирають дві з них. Яка ймовірність того, що сума чисел, записаних на цих картках дорівнює 10?

Розв’язання. Кількість всіх можливих випадків — це кількість способів, якими можна (без врахування порядку) вибрати дві картки з п’ятнадцяти. Отже, n = С² ₁₅ = 105. Нас влаштовують такі набори (1;9), (2;8), (3;7), (4;6). Отже, 

Приклад 2. В ящику 7 білих і 3 чорні кульки. Навмання вибирають три з них. Яка ймовірність того, що 1) всі вони білі; 2) дві з них — білі, а одна — чорна?

Розв’язання. Для обох задач n = С³ ₁₀= 120 — кількість всіх можливих випадків.

1) Вибрати три білі кульки можна С³ ₇ способами. Отже m = С³ ₇ = 35; 

2) Вибрати дві білі кульки можна С² ₇ способами і після кожного такого вибору вибрати чорну кульку можна С¹ ₃ способами. За правилом добутку 

Відносною частотою події називають відношення числа випробувань, у яких подія з’явилася, до загального числа фактично зроблених випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою

,

де m - число появ події, n - загальне число випробувань.