12.09.20222   група  №4   факультатив 

 Тема уроку: Рівняння та нерівності, що містять суму модулів; їх геометрична інтерпретація

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=cJE8a5CVQug

2. Законспектуйте і запам'ятайте

Рівняння виду  та інші містять два і більше виразів зі змінними, що стоять під знаком модуля. Такі рівняння доцільно розв’язувати за наступною схемою:

1) Знаходимо ОДЗ рівняння.

2) Знаходимо значення змінної, при яких дорівнює нулю хоча б один із виразів, що стоїть під знаком модуля (їх називають нулі під модульних виразів).

3) Розглянемо нулі підмодульних виразів на ОДЗ і розбиваємо ОДЗ на проміжки.

4) Знаходимо розв’язок рівняння - наслідку на кожному з проміжків і перевіряємо, чи входить цей розв’язок у розглядуваний проміжок.

5) Даємо відповідь

Приклад 1.

Розв’язати рівняння 

1) ОДЗ: х  R.

2) х — 1 = 0; х = 1; Зх - 12 = 0, х = 4. Отже, х = 1 і х = 4 — нулі підмодульних виразів.

3) Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій «жирними» точками (оскільки вони входять в ОДЗ) і маємо три проміжки (-∞;1], (1;4], (4;+∞) (мал. 33).

4) Якщо х ( -∞;1], тобто х ≤ 1, то х - 1≤ 0 і |х -1| = -(х - 1); Зх - 12 < 0 і |3х-12| = -(Зх - 12). Маємо -(х - 1) - (3х - 12)= 7; х = 1,5. Число 1,5 в розглядуваний проміжок (-∞;1], а тому не є коренем рівняння.

Якщо х  (1;4], тобто  Маємо х -1 - (Зх - 12) = 7; х = 2.

Число 2 входить у розглядуваний проміжок (1;4], тому є коренем початкового рівняння.

Якщо х  (4;+∞), тобто  Маємо х - 1 + 3х - 12 = 7; х = 5. Число 5 входить у розглядуваний проміжок (4;+∞), тому є коренями початкового рівняння.

5) Отже, х ₁ = 2; х₂ = 5 - корені початкового рівняння.

Приклад 2.

Приклад. Розв’яжіть нерівність 

Розв’язання: 1) ОДЗ: х  R.

2) х + 1 = 0, коли х = -1; 2х - 4 = 0, коли х = 2. Отже, х₁= -1; х₂ = 2 - нулі підмодульних виразів (мал. 36).

3) Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій «жирними» точками (оскільки вони входять в ОДЗ) і маємо три проміжки 

4) Якщо х  (-∞;-1], тобто х ≤ -1, маємо  Отже, на проміжку (-∞;-1] маємо систему

Якщо х  (-1;2], тобто -1 < х ≤ 2, маємо  Отже, на проміжку (-1;2] маємо систему

Якщо х  (2;+∞), тобто х > 2, маємо  Отже, на проміжку (2;+∞) маємо систему

5) Об’єднуючи відповіді, отримані на кожному з розглянутих проміжків, маємо  Отже,