20.09.2022    група №9   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Властивості та графіки тригонометричних функцій

1.Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=2tR8YK5sNEs

2. Законспектуйте основні положення

Означення та основні властивості тригонометричних функцій

Графіки функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x подані відповідно на рис. 1—4.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Означення та основні властивості обернених тригонометричних функцій

Функція у = arcsin x

Як відомо, функція у = sin х зростає на проміжку [-;] і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення функція набуває в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [-;] має єдиний корінь, який називають арксинусом числа а і позначають arcsin а.

Арксинусам числа а називають таке число з проміжку [-;],

синус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдемо arcsin .

arcsin  = , бо sin  =  i  ∈ [-;].

Приклад 2. Знайдемо arcsin (-).

arcsin (-) = , бо sin (-) =  i  ∈ [-;].

Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х ∈ [-;], перетворенням симетрії відносно прямої у = х 

(рис. 5).

Основні властивості функції у = arcsin х:

1. D (у) = [-1;1].

2. Е(у) = [-;].

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна): arcsin (-х) = -arcsin х.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁ > х₂, то arcsin х₁ > arcsin х₂.

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у_max = y(1) =, y_min = y(-1) = -.

Функція у = arccosx

Функція у = cos х спадає на відрізку [0; ] і набуває всіх значень від-1 до 1, тому рівняння cos х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [0; ] має єдиний корінь, який називають арккосинусом числа а і позначають arccos а.

Арккосинусам числа а називають таке число з проміжку (0; ], косинус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдіть arccos .

arcсos  = , бо cos  =  i  ∈ [0;].

Приклад 2. Знайдіть arcos (-).

arcсos (-) = , бо cos  =  i  ∈ [0;].

Графік функції у = arccos х одержимо із графіка функції у = cos х, х ∈ [0; ], перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 6). Основні властивості функції у = arccos х:

1. D (у) = [-1; 1].

2. Е (у) = [0; ].

3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY:

arccos (-х) =  - arccos х.

4. Функція спадна. Якщо х₁ > х₂, то arccos х₁, < arccos х₂.

5. у = 0, якщо х = 1.

6. у_max = у(-1) = , у_min = у(1) = 0.

Рис. 6

Функція у = arctgх

Функція у = tg х на проміжку (-;) зростає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого а рівняння tgх = a має єдиний корінь із проміжку (-;), який називають арктангенсом числам і позначають arctg а.

Арктангенсом числа а називають таке число з проміжку (-;), тангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arctg = , бо tg  =  i  ∈ (-;).

Приклад 2. arctg(-1) = - , бо tg (-) = -1 i  ∈ (-;).

Графік функції у = arctg х одержимо із графіка функції у = tg х, х ∈(-;), перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 7).

Основні властивості функції у = arctg х:

1. D (y) = R.

2. Е (у) = (-;).

3. Графік симетричний відносно початку координат; функція непарна: arctg (-х) = -arctg х.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁ < х₂, то arctg х₁ < arctg х₂.

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у > 0,якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.

Функція у = arcctgх

Функція у = ctgх на інтервалі (0; ) спадає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; ) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg а.

Арккотангенсам числа а називають таке число з інтервалу (0; ), котангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arcctg = , бо ctg  =  i  ∈ [0;].

Приклад 2. arcctg(-) = , бо ctg  =  i  ∈ [0;].

Графік функції у = arcctg х можна одержати із графіка функції у = ctg х у результаті перетворення симетрії відносно прямої у = х (рис. 8).

Основні властивості функції у = arcctgx:

1. D (y) = R.

2. Е(у) = (0; ).

Рис. 8

3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі ОУ:

arcctg (-х) =  - arcctg x.

4. Функція спадна. Якщо х₁ < х₂, то arcctg х₁ > arcctgx₂.

5. х = 0, якщо у = .

6. у > 0 для всіх х ∈ R.