26.09.2022   група  №4   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Розв'язання задач і вправ з теми "Показникові рівняння"

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=GFVv8Got3zo

2. Законспектуйте і вивчіть

2. Рівняння a^f(x) = a^g(x), де а > 0, а ≠ 1.

Рівняння a^f (x) = a^g (x) , де а > 0, а ≠ 1, рівносильне рівнянню f(х) = g(x).

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 

3. Зведення показникових рівнянь до найпростіших способом винесення спільного множника за дужки.

Цей спосіб можна використовувати у випадку, коли рівняння містить кілька виразів виду  , де m_i — різні числа. Тоді використовуємо формулу  = а^х  та виносимо за дужки спільний множник. Після спрощень отримаємо рівняння виду а^х = b.

Приклад. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання.

4. Рівняння виду a^f(x) = b^f(x), де а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1.

Поділимо ліву і праву частини рівняння a^f (x) = b^f (x) (де а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) на b^f (x) ≠ 0. Тоді (a/b)^f (x) =1, а, отже, f(х) = 0.

Приклад. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. Поділимо ліву і праву частини рівняння на 7^Х+1 ≠ 0. Маємо

5. Заміна змінних у показникових рівняннях.

Досить часто показникові рівняння можна звести до алгебраїчного за допомогою заміни t = a^f (x) , зауважимо, що t > 0.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. Заміна 4^х = t , t > 0. Тоді  Маємо  — не задовольняє умову t > 0.

Отже, 

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. Заміна  Маємо рівняння  Розв’язавши його, матимемо t ₁ = 4; t ₂ = -2,5 - не задовольняє умову t > 0. Тоді

6. Однорідні показникові рівняння.

Рівняння виду  є однорідним показниковим рівнянням другого степеня.

Метод розв’язання такого рівняння полягає в діленні лівої і правої частини на b^2f(х) ≠ 0 (або на а^2 f(x) ≠ 0) . Тоді маємо

Далі заміна 

Приклад. Розв’яжіть рівняння: 

Розв’язання. Оскільки  то рівняння зводиться до однорідного 

Ділимо ліву і праву частини рівняння на 3^2х ≠ 0.

Маємо 

Заміна  Тоді  Маємо