математика МПТУ

26.09.2022 група №14 геометрія

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань з теми "Тіла обертання"

1. Повторіть теорію, випишіть відповідні формули

Циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.

На рис. 1 зображено циліндр, утворений обертанням прямокутника ОАBO₁ навколо OO₁, OO₁ — вісь циліндра. Сторони ОА і О₁В описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Вирізки бічної поверхні, які паралельні і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра.

Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній.

Переріз циліндра площиною, перпендикулярною до його осі,— круг, що дорівнює основі (рис. 2), а переріз площиною, паралельною осі, — прямокутник (рис. 3) або відрізок.

Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами, що дорівнює висоті циліндра і діаметру його основи (рис. 4).

Рис. 1

Рис. 2

рис. 3

Рис. 4

мКонусам називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного із його катетів.

Якщо прямокутний трикутник (рис. 1) SAO обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза SA описує бічну поверхню, а катет ОА — круг — основу конуса. Радіус цього крута називається радіусом конуса; точка S. відрізок SA, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.

Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса є рівнобедреними трикутниками, рівними між собою. На рис. 2 ∆SAВ — осьовий переріз (SA = SB). Переріз конуса площиною, яка паралельна площині основи конуса, є круг.

Зрізаним конусом називається частина конуса, обмежена його основою і перерізом, паралельним площині основи (рис. 3). Зрізаний конус можна одержати в результаті обертання рівнобедреної трапеції навколо її осі симетрії або обертаючи прямокутну трапецію навколо осі, що збігається з бічною стороною трапеції, перпендикулярною до основ.

Осьовий переріз зрізаного конуса — рівнобічна трапеція. На рис. 3 ABCD — осьовий переріз.

Зрізаний конус обмежений двома кругами — його основами — і бічною поверхнею.

Відстань між основами — висота зрізаного конуса

На рис. 3 ОО₁ — висота, АВ — твірна.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Сферою називається поверхня, яка складається з усіх точок простору, що знаходяться наданій відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається централі). Відрізок, який з’єднує дві точки сфери і проходить через її центр, називають діаметрам сфери. На рис. 1 О — центр сфери, ОА — радіус сфери, АВ —діаметр сфери. Сферу можна отримати в результаті обертання кола навколо його діаметра. Кулею називається тіло, утворене з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більшій за дану (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром). Кулю можна отримати в результаті обертання круга навколо його діаметра.

Будь-який переріз кулі площиною є круг, а перерв сфери площиною є коло (рис. 2). Центр круга (кола) — основа перпендикуляра, опущеного із центра кулі (сфери) на січну площину. Переріз, який проходить через центр кулі (сфери), називається великим кругом (колом).

Рис. 1

Рис. 2

Площина (пряма), яка має з кулею (сферою) тільки одну спільну точку, називається дотичною площиною (прямою) (рис. 3). Дотична площина (пряма) перпендикулярна до радіуса кулі (сфери), проведеного в точку дотику. Якщо площина (пряма) проходить через точку сфери і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то вона дотикається до сфери.

Рис. З

Кульовим сегментом називають тіло, відтяте від кулі січною площиною (рис. 4).

Кульовий сегмент обмежений кругом, який називають основою, і сферичним сегментом. Відрізок діаметра, перпендикулярного до основи кульового (сферичного) сегмента, що міститься між основою і сферою, називають висотою кульового (сферичного) сегмента.

Рис. 4

Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і якійсь твірній, а потім розгорнути її на площині, то утвориться розгортка циліндра (рис. 1).

Площею поверхні циліндра називається площа його розгортки.

Площа поверхні циліндра S_цил дорівнює сумі площ основ S_осн і бічної поверхні S_біч :

S_цил = 2S_осн + S_біч

Рис. 1

Оскільки S_біч = 2RH, S_осн = R², де R — радіус основи циліндра, Н — його висота, то

S_цил = 2RH + 2R² = 2R (R + Н) (рис. 2).

Рис. 2

Площа бічної поверхні конуса дорівнює півдобутку довжини кола основи на його твірну, тобто S_кон = Rl (рис. 3).

Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площі основи:

S_кон = S_біч + S_осн = Rl + R² = R(R + l). (рис. 3).

Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює півдобутку суми довжин кіл основ на довжину твірної, тобто S_{біч зрк он} = l(R + r), де l—твірна, R і r—радіуси основ (рис. 4). Площа повної поверхні зрізаного конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площ основ:

S_{повн зр кон} = S_біч + R² + r² = l(R + r) + R² + r² (рис. 4).

Площа поверхні сфери знаходитеся за формулою

S = 4R²,

де R — радіус сфери (рис. 5).

Площа сферичного сегмента (рис. 6) обчислюєтеся за формулою

S = 2RH.

де R — радіус сфери, Н — висота сегмента.