При розв’язуванні рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше застосовують такі методи, як:
a) розкриття модуля за визначенням;
b) метод інтервалів.
За визначенням модуля: 
Відзначимо такі властивості модуля, які нерідко використовуються на практиці: 
Для найпростіших рівнянь з модулем слід пам’ятати, що рівняння 
рівносильне сукупності рівнянь 
якщо 
. Якщо ж 
, то рівняння розв’язків не має.
Приклад 1. Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Відповідь: {
2}.
Приклад 2. Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
, оскільки з визначення модуля випливає, що 
для будь-якого х з області визначення функції 
.
Відповідь: 
.
Приклад 3. Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Розглянемо два випадки, коли вираз (х+1) під знаком модуля невід’ємний і коли від’ємний. При 
При 
Звідси, початкове рівняння еквівалентне сукупності двох змішаних систем:
Перша система має розв’язок 
. Друга система розв’язків не має, тому що 
Відповідь: 
Рівняння виду 
можна розв’язувати методом інтервалів, який розглянутий нижче, однак для такого рівняння швидше за все приводить до мети спосіб піднесення обох частин рівняння до квадрата, враховуючи те, що 
.
Приклад 4. Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Піднесемо обидві частини рівняння 
до квадрата: 
Відповідь: 
.
Метод інтервалів (проміжків) при розв’язуванні рівнянь з модулями
Даний метод полягає в тому, що:
1) вирази, які стоять під знаком модуля, прирівнюються до нуля;
2) отримані значення відкладаються на числовій прямій, яка при цьому розбивається на інтервали (проміжки), в кожному з яких свій знак підмодулевого виразу;
3) розв’язуються отримані рівняння в кожному з інтервалів.
На практиці метод інтервалів зазвичай застосовується тоді, коли рівняння містить декілька модулів.
Розглянемо застосування методу інтервалів на прикладах.
Приклад 5. Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
1-й спосіб розв’язування:
; 
. Наносимо на числову пряму точки 
і 
. Ці точки розбивають числову пряму на три інтервали (проміжки), у кожному з яких свій знак підмодулевого виразу. Для зручності можна позначити ці інтервали І, ІІ, ІІІ:
І: 
; ІІ: 
; ІІІ: 
.
Для інтервалу І маємо: 
; 
.
Звідси, дістаємо розв’язання рівняння в І інтервалі: 
. Однак значення 
не належить І інтервалу, тобто 
, тому в І інтервалі початкове рівняння розв'язків не має.
Для ІІ інтервалу 
; 
початкове рівняння має вигляд 
. Оскільки 
– це тотожність, то будь-яке 
є розв’язком, тобто розв’язком рівняння є весь відрізок 
.
Для ІІІ інтервалу 
; 
початкове рівняння має вигляд: 
. Оскільки 
, то в ІІІ інтервалі початкове рівняння розв’язків не має.
2-й спосіб розв’язування:
Розв’язання даного прикладу можна записати в іншій формі, застосовуючи поняття сукупності змішаних систем, тобто систем, які містять рівняння і нерівності.
Так само, як і для 1-го способу, маємо три інтервали: І: ; ІІ: ; ІІІ: . В залежності від того, у якому інтервалі ми шукаємо розв’язок, початкове рівняння рівносильне сукупності таких змішаних систем: 
. Перша і третя системи сукупності розв’язків не мають, а розв’язком другої системи є проміжок 
.
Відповідь: 
.
Приклад 6. Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Рівняння з трьома і більше модулями зручно розв’язувати лише методом інтервалів.
; 
; 
.
Маємо чотири інтервали:
І: 
;
ІІ: 
;
ІІІ: 
;
ІV: 
.
У І інтервалі 
, 
, 
. Звідси, маємо
. Оскільки 
входить в інтервал 
, то 
є розв’язком початкового рівняння.
У ІІ інтервалі 
; 
; .
Тоді 
. Однак 
.
Для ІІІ інтервалу ; ; 
.
Звідси маємо
. Тому що 
входить в інтервал 
, то 
є розв’язком початкового рівняння.
Для ІV інтервалу 
; ; . Звідси дістаємо 
. Однак значення 
.
Відповідь: 
.
Приклад 7. Розв’язати нерівність 
Розв’язання
Згідно з 1-им способом розв’язування нерівностей з модулем випливає, що 
або 
, тобто
Відповідь: 
.
Приклад 8. Розв’язати нерівність 
.
Розв’язання
Оскільки 
, то початкова нерівність розв’язків не має.
Відповідь: 
.
Приклад 9. Розв’язати нерівність 
.
Розв’язання
Дану нерівність можна замінити сукупністю двох систем нерівностей:
.
Відповідь: 
.
Приклад 10. Розв’язати нерівність 
Розв’язання
Для розв’язування даної нерівності використаємо метод інтервалів для модулів. Відзначимо на числовій прямій точки, в яких вирази, що знаходяться під знаком модулів, перетворюються в нуль. Це точки 
і 
. Вся числова пряма розбивається цими точками на три проміжки:
1) Розглянемо проміжок (інтервал) 
:
Підставивши в підмодулеві вирази замість змінної х довільне значення з даного інтервалу, виявивши тим самим знак підмодулевого виразу, отримаємо нерівність 
, 
. Тоді 
2) Розглянемо проміжок 
:
За тим самим принципом, що і на попередньому проміжку, маємо 
Тоді 
3) Розглянемо проміжок 
:
Маємо 
. Тоді 
Об’єднаємо отримані розв’язки: 
.
Відповідь: .
Немає коментарів:
Дописати коментар