15.09.2022   група  №2    алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Розв'язування задач і вправ по темі "Інтеграл"

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=2aXwFoQvEeo

2. Повторіть теорію

Визначеним інтегралом від неперервної на [а;b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею b називають різницею F(b) - F(a), де F(x) - одна з первинних для функції f(x). Позначають визначений інтеграл так f(x)dx.

При обчисленні різниці F(b) - F(а) можна брати будь-яку з первісних функцій f(х), що записуються в загальному вигляді F(x) + С. Але прийнято застосовувати ту первісну для якої С = 0.

За наведеним означенням маємо:

Цю формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Зауважимо, що при обчисленні визначених інтегралів зручно різницю F(b) - F(a) записують так F(x) . Застосовуючи це позначення формулу Ньютона-Лейбніца записують ще й у такому вигляді:

Розглянемо приклади знаходження визначень інтегралів.

Приклад 1. Обчисліть інтеграл sіnхdх.

Розв’язання. Для функції f(х) = sin х однією з первісних є F(х) = -cos х. Маємо за формулою Ньютона-Лейбніца

Приклад 2. Обчисліть інтеграл 

Розв’язання. Спочатку знайдемо первісну для функції f(х) = 2х + 3х² + 1. Використовуючи правила обчислення первісних та таблицю первісних, маємо:

Матимемо

Зауважимо, що при оформленні цього прикладу знаходження первісної можна було не записувати окремо. Тоді оформлення набуде наступного вигляду:

Приклад 3. Обчисліть інтеграл 

Розв’язання. Використаємо правило 3 знаходження первісних. Маємо

3. Виконайте тести

Запитання 1

Обчисліть визначений інтеграл

варіанти відповідей

 

1

 

 

2

 

 

-1

 

 

0

Запитання 2

Обчисліть інтеграл

варіанти відповідей

 

2/9

 

 

14/3

 

 

3/5

 

 

5

Запитання 3

Обчисліть інтеграл :

варіанти відповідей

 

а) 10

 

 

б) 8

 

 

в) 5

 

 

г) 6

 

 

д)4

Запитання 4

Обчисліть.

варіанти відповідей

 

6

 

 

8

 

 

3

 

 

9

Запитання 5

Обчисліть інтеграл

варіанти відповідей

 

64

 

 

66

 

 

68

 

 

62

Запитання 6

Обчисліть.

варіанти відповідей

 

1

 

 

√2/2

 

 

√3/2

 

 

0

Запитання 7

Обчислити інтеграл:

варіанти відповідей

 

33/5

 

 

33/4

 

 

31/3

 

 

31/6

Запитання 8

Обчислити інтеграл:

варіанти відповідей

 

333

 

 

-11/10

 

 

9/10

 

 

15

Запитання 9

Обчислити інтеграл:

варіанти відповідей

 

-1

 

 

0

 

 

√3

 

 

1

Запитання 10

Обчислити інтеграл:

варіанти відповідей

 

-√2/2

 

 

0

 

 

1/2

 

 

-1

Запитання 11

Вказати формулу Ньютона-Лейбніца

варіанти відповідей

 

a∫b f(x)dx=F(b)-F(a)

 

 

a∫b f(x)dx=F(a)-F(b)

 

 

a∫b f(x)dx=F(b)+F(a)

 

 

a∫b f(x)dx=f(b)-f(a)

Запитання 12

Обчисліть інтеграл 1∫2 (3х - 2)2 dx

варіанти відповідей

 

7

 

 

4

 

 

5,5

 

 

3