20.09.2022   група  №2  факультатив

Тема уроку: Функції. Графіки. Похідна.

1. Повторіть теорію та приклади

Поняття функції. Способи задания функції.

Область визначення і область значень функції

Числовою функцією з областю визначення D називають залежність, згідно з якою кожному числу х із множини D відповідає за деяким правилом єдине число у із множини Е (рис. 1).

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументам функції, а змінну у — залежною змінною, або функцією.

Функцію позначають латинськими буквами f, g, h,... (або f (x), g (x), h (x),...) або рівностями у = f(x), у = g (x), у = h (x),... .

Якщо задане конкретне значення незалежної змінної x = x₀, то у₀ = f(x₀) називається значенням функції f у точці x₀.

Рис. 1

Наприклад: якщо f(x) = , то f(1) =  = , f(0) =  = 0, f(a) = .

Область визначення функції позначають D (f) (від англ. define — визначити). Множина, що складається з усіх чисел f(x) таких, що ж належить області визначення функції f,називається областю значень функції і позначається Е (f) (від англ. exist — існувати).

Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого залежно від часу подано в таблиці:

Таблиця

Час доби, ж (год)	9	12	15	18	21	24
Температура тіла, у = f(x) (С°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

Залежність у = f(x) є функцією, де x — незалежна змінна, у — залежна змінна.

f(9) = 39; f(12) = 38,5; f(15) = 38,3; f(18) = 37,3; f(21) = 37,1; f(24) = 37.

D(f) = {9; 12; 15; 18; 21; 24}.

E(f)= {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.

Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу x.

Наприклад: якщо кожному значенню ж із множини дійсних чисел відповідає квадрат цього числа, то функцію можна записати у вигляді формули: у = x², або f(x) = x².

Областю визначення функції y = f(x), яка задана формулою, називають множину тих значень, яких може набувати ж, тобто таких ж, за яких формула має зміст (усі дії, указані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція є многочленом у = а_nxⁿ + а_n-1x^n-1 +... + а₁x + а₀, то D (у) = (∞; +∞) = R. Наприклад: якщо у = x² + 2x + 1, то D (у) = R.

2. Якщо функція має вигляд у = , де f(x) і g (x) — многочлени, то слід вважати g (x) ≠ 0 (знаменник дробу не дорівнює 0).

Наприклад: якщо у = , то x² -1 ≠ 0. Тоді x ≠-1 і x ≠ 1. Oтже, D(у) = (∞; -1 )(-1; 1)(1;+∞).

3. Якщо функція має вигляд у = , то слід вважати f(X) ≥ 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємних чисел).

Наприклад: якщо у = , то 5 + х ≥ 0, х ≥ -5, тобто D (у) = [-5; +∞).

Графік функції

Графіком функції у = f(х) називають множину всіх точок площини з координатами (х; f(х)), де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(X), а друга — це відповідні значення функції у точці х (рис. 2).

                                      

                                           Рис. 2

Зростання і спадання функції

Функція у = f(х) є зростаючою (рис. 3), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тобто для будь-яких значень х₁ і х₂ з області визначення функції як таких, що х₁ < х₂, виконується нерівність f(X₁) < f(х₂) (або у₁ < у₂), і навпаки, якщо у = f(х) — зростаюча, то за умови f(x₁) < f(x₂) виконується нерівність x₁ < x₂.

Рис. 3

Функція у = f(х) є спадною (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Тобто для будь-яких значень х₁ і х₂ з області визначення функції як таких, що х₁ < х₂, виконується нерівність f(х₁) > f(х₂) ( або у₁ > у₂), і навпаки, якщо у = f(х) — спадна, то за умови f(х₁) > f(х₂) виконується нерівність x₁ < х₂.

Рис. 4

Періодичність функції

Функцію у = f(х) називають періодичною з періодом Т ≠ 0. якщо для будь-якого х з області визначення числа х + T і х - T також належать області визначення і виконується рівність: f(х + T) = f(х - T) = f(х) (рис. 5).

Рис. 5

Якщо функція у = f(х) — періодична з найменшим додатним періодом Т, то функція y = f(kx + b) теж періодична, і найменший додатний період її дорівнює  (k≠0).

Парні та непарні функції

Функція у = f(х) є парною, якщо для будь-якого значення х із D (y) значення -х також належить D (у) і виконується рівність f(-х) = f(х). Графік парної функції симетричний відносно осі OY (рис. 6).

Рис. 6

Приклад 1. Чи є парною функція f(х) = х⁴ + х²?

Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)⁴ + (-х)² = х⁴ + х² = f(х), то функція парна Приклад 2. Чи є парною функція f(х) = х² +х?

Оскільки D (f) = R, але f(-х) = (-х)² + (-х) = х² - х ≠ f(х), то функція не є парною.

Функція y = f(x) є непарною, якщо для будь-якого значеннях із D (у) значення -х ∈ D(y) і виконується рівність f(-х) = -f(х). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (рис. 7).

Рис. 7

Приклад 3. Чи є непарною функція f(х) = х³ - х⁵?

Оскільки D (f) = R і f(-х) = (-х)³ - (-х)⁵ = -х³ + x⁵ = -(х³ - x5) = -f(х), то функція є непарною.

Приклад 4. Чи є непарною функція f(х) = х³ - х²?

Оскільки D(f) = R i f (-х) = (-х)³ - (-х)² = -х³ - х² = -(х³ + х²) ≠ -f (х) = -х³ + х², то функція не є непарною.

Похідною функції у = f(х) у точці х₀ називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

f’(x₀) =  = .

фізичний зміст похідної

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється за законом s = s(t). то швидкість її руху v (t) у момент t дорівнює похідній s'(t):

v (t) = s'(t).

геометричний зміст похідної

Значення похідної функції у = f(х) у точці х₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀:

f'(x₀) = k = tga (pиc. 8).