20.09.2022  група №9     геометрія 

Тема уроку: Формули для обчислення довжини вектора, кута між векторами

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=MWXDjrrn7gE

2.Законспектуйте та вивчіть

1. Координати вектора у просторі. Рівність векторів, заданих координатами. Модуль вектора.

Якщо у просторі ввести систему координат, то кожний вектор можна задати трійкою чисел - координатами вектора у просторі.

Координатами вектора з початком А(х₁; у ₁; z ₁) і кінцем В(х₂; у₂; z ₂) називають числа х = х₂ – х ₁; у = у₂ – у ₁;

 z = z ₂ – z ₁.

Нагадаємо, що записують вектор, вказуючи його координати наступним чином (х;у;z). Наприклад,  тощо.

Приклад 1. Знайти координати вектора, якщо А(-5; 2; -3), B(7; -1; 0).

Розв’язання.  (7 - (-5);-1 - 2;0 - (-3)) ,отже (12;-3;3).

Координати вектора можуть бути будь-які дійсні числа. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю(0;0;0).

Як і на площині,

рівні вектори мають відповідно рівні координати, і навпаки: якщо у векторів відповідно рівні координати, то вектори рівні.

Приклад 2. Дано точки А(-1;3;4), В(0;5;-1), С(х;2;z), D(1;у;-2). Знайти х, у, z, якщо =.

Розв’язання.

3) Оскільки =, то маємо 1 - х = 1; у - 2 = 2; -2 - z = -5., 

Отже, маємо х = 0; у = 4; z = 3.

Модуль вектора(х;у;z) дорівнює маємо 

х = 0; у = 4; z = 3.

Приклад 3. Знайти модуль вектора: 

Розв’язання.

Приклад 4. Відомо, що модуль вектора ( -4;у; ) дорівнює 5. Знайти y.

Розв’язання. 

За умовою  

2. Скалярний добуток векторів, його властивості.

Скалярним добуток векторів  називають число 

Нагадаємо, що позначають скалярний добуток так:  ∙ .

Приклад. Знайти скалярний добуток векторів:  

Розв’язання. 

Нехай задано вектор  (х;у;z). Тоді 

Скалярний добуток вектора самого на себе  ∙  позначають  ² і називають скалярним квадратом вектора.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату модуля цього вектора 

З останньої рівності випливає, що 

З означення скалярного добутку випливають такi його властивості.

Для будь-яких векторів  ,  ,  і будь-якого числа λ виконується

3. Формула для знаходження кута між векторами, що задані координатами.

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними, тобто  де φ - кут між векторами  і .

Скалярний добуток векторів дає можливість знайти косинус кута між векторами  , що задані координатами.

Оскільки  де φ - кут між векторами  і  , то 

Оскільки  то маємо

Якщо відомим є косинус кута між векторами, то можна знайти цей кут (за таблицями або за допомогою калькулятора).

Приклад 1. Знайти градусну міру кута С трикутника АВС, якщо А(3;5;2), В(4;5;1), С(3;4;1).

Розв’язання. 1) (мал. 520). Кут С трикутника АВС збігається з кутом між векторами  і .

2) Маємо  тобто  тобто 

3) Тоді 

 Звідси,  С = 60°.

Приклад 2. Дано вектори  кут φ між векторами  і  дорівнює 120°. Знайти 

Розв’язання. Оскільки  то

3.Виконайте вправи

1. Дано вектори  Яка з пар векторів колінеарна?

2. Чому дорівнює скалярний добуток векторів 

3. φ - кут між векторами  і  . Знайти  ∙  , якщо 

4.  Дано вектора  Знайти (у градусах) кут між векторами  і  .