19.09.2022   група №14   геометрія

Тема уроку: Переріз кулі площиною

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=HAD34YbIH08

2. Законспектуйте та вивчіть

Площина α і куля можуть або не мати спільних точок (мал. 501) або мати одну спільну точку (мал. 502) або перетинатися і мати безліч спільних точок (мал. 503).

Нехай ОМ = r — радіус кулі, а О А = d - перпендикуляр, опущений з центра кулі - точка О до площини α (відстань від центра кулі до площини α).

а) Якщо площина α і куля не мають спільних точок, то d > r;

б) Якщо площина α і куля мають одну спільну точку, то d = r;

в) Якщо площина α і куля мають безліч спільних точок, то d < r.

Зауважимо, що обернене твердження також вірне: якщо d > r, то площина і куля не мають спільних точок, якщо d = r, то площина і куля мають одну спільну точку, якщо d < r, то площина і куля мають безліч спільних точок.

Приклад. Радіус кулі дорівнює 4,5 см. Скільки спільних точок має куля із площиною, якщо відстань від центра кулі до площини дорівнює: 1) 4 см, 2) 4(1/2) см, 3) 5 см.

Розв’язання. 1) 4 < 4,5, тому безліч спільних точок.

2) 4(1/2) = 4,5, тому одна спільна точка.

3) 5 > 4, тому жодної спільної точки.

Розглянемо детальніше випадки коли площина і куля мають одну або безліч спільних точок.

Якщо площина α і куля мають безліч спільних точок (мал. 503), то кажуть про переріз кулі площиною.

Якщо площина проходить через центр кулі (мал. 500), то її називають діаметральною площиною. Переріз кулі діаметральною площиною є круг, радіус якого дорівнює радіусу кулі. Такий переріз називають великим кругом, а коло, що його обмежує - великим колом.

Переріз кулі площиною, відмінною від діаметральної площини, є також круг, радіус якого менший за радіус кулі. На малюнку 500 перерізом кулі площиною α є круг, центр якого - точка А, яка є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі - точки О на площину α. Радіус цього круга АМ, де М - точка, що належить перерізу площини α зі сферою, що обмежує кулю. При цьому ОМ = r — радіус кулі.

Приклад. Діаметр кулі дорівнює 50 см. Кулю перетнуто площиною на відстані 24 см від центра. Знайти площу утвореного перерізу.

Розв’язання. 1) Радіус кулі r = 50 : 2 = 25 (см).

2) За малюнком 503:  

АМ – радіус перерізу.

3) Площа перерізу 

3. Розв'яжіть задачі

1. Куля радіусом 5 см перетнута площиною на відстані 3 см від центра Знайдіть площу перерізу.

2. У кулі, площа великого круга якої дорівнює 625 см², проведено січну площину. Знайдіть (у см) відстань від центра кулі до перерізу, якщо площа перерву дорівнює 225  см².