20.09.2022   група №2   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Узагальнення і систематизація знань з теми " Інтеграл та його застосування"

1. Повторіть теорію

Первісна

Функцію F (х) називають первісною для функції f (х) на заданому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку F'(х) = f(х).

Функція F(х) = х2 є первісною для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (х²)' = 2х = f(x).

Основна властивість первісної

Якщо F(x)— первісна для функції f(х) на заданому проміжку, то функція f(х) має безліч первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + С, де С — довільна стала.

Функції F (х) = х² + С є первісними для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (x2 + С)' = 2c = f(х).

Правила обчислений первісних

1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F(x) — первісна для f(х), a G (х) — первісна для g (х), то F (х) + G (х) — первісна для функції f(x) + g(x).

2. Сталий множник можна ви носити за знак первісної, тобто якщо F (x) — первісна для функції f(х) і С — стала, то CF(x) — первісна для Cf (х).

3. Якщо F(x) — первісна для f(х) і k ≠ 0, b — стала, то  F(kх + b) — первісна для функції f(kх + b).

Невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом від функції f(х) називають вираз F (х) + С, тобто сукупність усіх первісних даної функції f(х).

Позначається так: (f(x)d(x)= F(x) + C, де функцію f(х) називають підінтегральною функцією; вираз сіх — підінтегральним виразом;

 F(x) — одна з первісних функції f(х); С — довільна стала.

Основні правила інтегрування

1.  =  + .

2.  C.

3. Якщо k ≠ 0 i k, b — сталі, то  = F (kx + b) + C.

Визначений інтеграл

Нехай задано неперервну функцію у= f(x), визначену на проміжку [а; b], тоді визначеним інтегралом

від а до b функції f(х) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто dx = F(b) - F(a).

Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

1. dx = Cdx, де С — стала.

2. +g(x))dx = dx + (x)dx.

3. dx = -dx.

4.  =  .

5. dx = 0.

6. dx - dx + dx.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Обчисліть .

Розв'язання

Оскільки для х² однією з первісних є  , то

  =  =  -  =  +  = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: -.

Приклад 3. Обчисліть:

a) ;

б) .

Розв’язання

Відповідь: а) ³ - 1; б) 12.

2. Розв'яжіть вправи

1. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

2. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

3. Для даної функції f(a) =  знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А (0; 1).

4. Для даної функції f(х) =  знайдіть первісну, графік якої проходить через точкуA (;0)

5. Обчисліть .