20.09.2022   група № 4        геометрія

Тема уроку: Прямокутні координати в просторі.Формуладля обчислення відстані між двома точками.

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=cexKJG2Xp-I

2. Законспектуйте в зошиті і вивчіть

Проведемо через точку О простору три попарно перпендикулярні прямі х, у, z (мал. 515). На кожній з прямих виберемо напрям, який позначимо стрілочкою та одиницю вимірювання. Таким чином задають прямокутну систему координат у просторі. Точку О називають початком координат, а прямі з вибраними напрямками осями координат (або координатними осями). Вісь х називають віссю абсцис, вісь у - віссю ординат, вісь z - віссю аплікат. Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі - додатну (яку позначають стрілочкою) і від’ємну. Площини, які проходять відповідно через осі координат х і у, у і z, х і z називають координатними площинами ху, уz, хz.

В прямокутній системі координат у просторі кожній точці М простору ставиться у відповідність єдина впорядкована трійка чисел, а кожній впорядкованій трійці чисел - єдина точка простору. Цю трійку чисел називають координатами точки. Визначаються вони аналогічно координатам точки на площині.

Проведемо через точку М площину, перпендикулярну до осі х (мал. 516). Вона перетинає вісь х в точці М _x. Координатою х точки М (абсцисою точки М) називають число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині відрізка ОМ _x; додатне, якщо точка М_х лежить на додатній півосі х і від’ємне, якщо вона лежить на від’ємній півосі. Якщо ж точка М збігається з точкою О, то вважаємо, що абсциса точки М дорівнює О.

Проведемо площини, перпендикулярні осям у і z, які перетинають ці вісі в точках М _y і М _z відповідно. Аналогічно до координати х точки М визначаються координата у точки М (ординати точки М) і координата z точки М (апліката точки М).

Відстань між точками А(х₁; у ₁; z ₁) і В(х ₂; у ₂; z ₂) обчислюється за формулою

Приклад 1. Точки М(0; 3; 5) і N(2; 1; 4) відповідно середини сторін АВ i ВС трикутника АВС. Знайти довжину сторони АС цього трикутника.

Розв’язання. 1) Оскільки М - середина АВ, а N — середина ВС, то МN - середня лінія ∆АВС. Тому 

3) Тоді АС = 2 ∙ 3 = 6.

Приклад 2. Відстань між точками А(х; 3; 4) і B(1; 5; 1) дорівнює 7. Знайти х.

Розв’язання. 

2) За умовою АВ = 7, тому АВ² = 49. Отже, (1 - х)² +13 = 49, (1 - х)² = 36, 1 - х = 6 або 1 - х = -6. Звідси х = -5 або х = 7.

3. Виконайте вправи

1. На якій відстані від початку координат знаходиться точка А(-1; 1; 1)?

2. Знайти відстань між точками А(-2; 3; 4) і В(-3; 5; 2).

3. Дано вершини А(2; -1; 4), В(3; 2; -6), С(-5; 0; 2) трикутника АВС. Знайти довжину медіани трикутника, проведеної з вершини А.