13.09.2022  група   №2   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Обчислення площ плоских фігур. Застосування інтеграла до розв'язання прикладних задач

1. Законспектуйте в зошиті

Розглянемо площу фігур зверху обмежену графіком функції у = f(х) , знизу - графіком функції у = g(х)    та вертикальними прямими х = а і х = b, причому функції у = f(x) і у = g(х) - неперервні на [а;b] і для всіх значень

 х [а;b] виконується нерівність f(x) ≥ g(x) (мал. 116). Тоді площу S такої плоскої фігури можна знайти за формулою:

Приклад 1. 

Знайдіть площу фігур, обмежену графіками функцій у = соsх, у = -2 соsх та прямими x = 0 i x = π/6.

Розв’язання (мал. 117). Маємо

Підінтегральний вираз можна спростити. Отримаємо

Приклад 2. 

Знайдіть площу фігури, обмежену графіками функцій у = х² - 2х і у = 4х + х.

Розв’язання. Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій:

 х² - 2х = 4 + х; х² - 3х - 4 = 0; x ₁ = -1; x ₂ = 4.

Ординати точок перетину y ₁ = 3; у₂ = 8. Зображуємо графіки функцій схематично (мал. 118).

Шукана площа

2. Розв'яжіть самостійно задачі

1. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції у = х² та прямими у = 0, х = 0, х = 6.

2. Знайти площу фігури, обмежену графіками функцій у = 2 sіnх, у = -sіnх та прямими x = 0, x = π/3.

3. Знайти площу фігури, обмежену лініями у = 3 - х² і у = 1 - х.