12.09.2022    група  №6      геометрія

Тема уроку: Взаємне розміщення прямих у просторі

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=UYwtrNPu22c

2. Законспектуйте і вивчіть

Як відомо з курсу планіметрії, для двох прямих на площині можливі лише два випадки їх взаємного розміщення: або вони перетинаються, або вони паралельні.

У просторі можливий ще один випадок розміщення. Розглянемо малюнок 364. Прямі АD/span> і D ₁С ₁ не мають спільних точок, крім того вони і не паралельні. В такому випадку кажуть, що дві прямі не лежать в одній площині, тобто не існує такої площини, яка проходить через обидві ці прямі.

Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

На малюнку 364 прямі АD і D ₁С₁ - мимобіжні.

У планіметрії ці фігури, які ми розглядали, розміщувались на одній площині. У стереометрії можна ж розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цим означення паралельних прямих потребує уточнення.

Дві прямі в просторі називають паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Паралельність прямих а і b позначають так само, як і в планіметрії: аllb.

Отже, у просторі можливі три випадки взаємного розміщення двох прямих:

1) прямі лежать в одній площині і мають спільну точку - прямі, що перетинаються (мал. 365).

2) прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок - паралельні прямі (мал. 366).

3) прямі не лежать в одній площині - мимобіжні прямі.

З означення паралельності прямих випливає, що через дві паралельні прямі можна провести площину. Ця площина єдина. Отже, Через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну.

До трьох способів задавання площини, розглянутих у попередньому параграфі, додамо ще один: площину можна задавати двома паралельними прямими.

Як відомо, на площині через дану точку, яка не належить прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній (аксіома паралельності прямих на площині, або аксіома Евкліда). Така ж властивість виконується у просторі.

Через будь-яку точку простору, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Подамо властивість паралельних прямих.

Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то її друга пряма перетинає площину.

Нам малюнку 367: аllb і а α = М. За вказаною властивістю пряма b також також перетинає площину α.

Корисною є ознака паралельності прямих: дві прямі паралельні третій прямій, паралельні між собою.

На малюнку 368: а||b і а||с, тоді b||с.

Приклад. Через кінець А відрізка АВ проведено площину α. Через кінець В і точку М цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину а в точках В₁ і М ₁ відповідно (мал. 369). Знайти довжину відрізка ММ₁, якщо ВВ₁ = 6 см і ВМ : МА =1:2.

Розв’язання. 1) Оскільки ВВ ₁ || ММ ₁, то через прямі ВВ ₁ і ММ ₁ можна провести деяку площину β.

2) Площини α і β перетинаються по прямій В₁М ₁. А  α, А  ВМ, ВМ β, тому А  β. Отже, А  α і А  β, тому точка А належить прямій перетину площин α і β - прямій В ₁М ₁.

3)  ABB ₁ =  AMM₁ (відповідні кути при паралельних прямих ВВ₁ і ММ₁ і січній АВ),  A - спільний для ∆АММ₁ і ∆АВВ₁. Тому ∆АММ ₁ - ∆АВВ₁ (за двома кутами), звідки 

4) Оскільки ВМ : МА = 1 : 2, то можна позначити ВМ = х см, МА = 2х см; тоді  Маємо 

Корисною є ознака мимобіжності прямих: якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину у точці, що не належить першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

На малюнку 370: а  α і b  α = К, причому К а. За ознакою мимобіжності прямих маємо, що прямі а і b мимобіжні.

Приклад 1. Точка Р не лежить у площині трикутника АВС, АМ - медіана ∆АВС. Яким є взаємне розміщення прямих РВ і АМ?

Розв’язання. Оскільки пряма АМ належать площині трикутника АВС, а пряма РВ перетинає цю площину в точці В, яка не належить прямій АМ (мал. 371), то за ознакою мимобіжних прямих отримаємо, що прямі РВ і АМ - мимобіжний.

Приклад 2. Прямі АВ і СD мимобіжні. Доведіть, що прямі АD і ВС також мимобіжні.

Доведення. 1) Припустимо, що прямі АD і ВС не є мимобіжними, тобто паралельні або перетинаються.

2) В обох цих випадках через прямі АD і ВС можна провести площину α. В цій площині лежать всі чотири точки А, В, С і D. Це означає, що прямі АВ і СD - не є мимобіжними.

3) Маємо протиріччя з умовою. Наше припущення хибне. Отже, прямі АD і ВС - мимобіжні.