математика МПТУ

01.09.2022 група №9 Алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Синус, косинус, тангенс, котангенс кута

1. Передивіться відео урок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=B-dkDuYi1Ww

2. Законспектуйте в зошиті

3 курсу геометрії нам уже відомо, що таке синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°. У цьому параграфі ознайомимося з поняттями синуса, косинуса і тангенса довільного кута, а також з поняттям котангенса кута.

1. Кути довільної величини

Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (мал. 7.1). Позначимо на додатній півосі абсцис точку А, яка належить колу.

Радіус ОА будемо називати початковим радіусом.

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОВ. Кут АОВ, який при цьому утворився, називають кутом повороту. У нашому випадку кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° у напрямку руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОС. У цьому випадку кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 7.1 стрілками вказано кути повороту 50° і -50° та напрям повороту. Узагалі,

7.1

при повороті початкового радіуса проти руху годинникової стрілки кут повороту вважають додатним, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 7.1).

Кут повороту може бути будь-яким числом. На малюнку 7.2 маємо кути повороту 120° і -170°.

7.2

7.3

7.4

Покажемо кут повороту 225°. Оскільки 225° = 180° + 45°, повернемо початковий радіус ОА в додатному напрямі на 180°, а потім у тому ж напрямі ще на 45° (мал. 7.3). Якщо початковим радіусом виконати повний оберт проти руху годинникової стрілки, то отримаємо кут повороту 360° (мал. 7.4). Початковий радіус можна повернути і більш ніж на повний оберт, наприклад, на малюнку 7.5 маємо кут повороту 440°.

Якщо початковий радіус повернути за рухом годинникової стрілки на 330°, тобто у від’ємному напрямі, отримаємо кут повороту -330° (мал. 7.6).

7.5

7.6

7.7

Нехай при повороті на 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 7.7). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Із цього можна дійти висновку, що радіус ОА переходить у радіус ОВ як при повороті на кут 40° + 360° = 400°, так і при повороті на кут 40° - 360° = -320°, та й узагалі при повороті на кут 40° + 360°k, де k - будь-яке ціле число, тобто k ∈ Z.

Очевидно, що й будь-який кут а можна подати у вигляді а = а₀ + 360°k, де 0 ≤ а₀ ≤ 360°, k ∈ Z. Наприклад, 1100° = 20° + 360° ∙ 3, а -640° = 80° + 360° ∙ (-2).

Задача 1. Серед кутів повороту 460°, -270°, 810°, -660° знайти ті, при повороті на які початковий радіус прийме те саме положення, що й при повороті на кут 90°.

Розв’язання. Оскільки 460° = 100° + 360° ∙ 1;

-270° = 90° + 360° ∙ (-1); 810° = 90° + 360° ∙ 2;

-660° = 60° + 360° ∙ (-2), то такими є кути -270° і 810°.

Відповідь. -270° і 810°.

Нагадаємо, що координатні осі ділять координатну площину на чотири чверті (мал. 7.8). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, тоді кут а називають кутом тої чверті, у якій міститься радіус ОВ. Так, наприклад,

а = 50° - кут першої чверті (мал. 7.1),

а = 120° - кут другої чверті (мал. 7.2),

а = 225° - кут третьої чверті (мал. 7.3),

а = -50° - кут четвертої чверті (мал. 7.1).

7.8

Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°; … не належать жодній чверті.

Задача 2. Кутом якої чверті є кут: 1) 1999°; 2) -2010°?

Розв’язання.

1) 1999° = 199° + 360° ∙ 5, тому 1999° - кут III чверті.

2) -2010° = 150° + 360° ∙ (-6), тому -2010° - кут II чверті.

Відповідь. 1) кут III чверті; 2) кут II чверті.

2. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, причому точка В має координати (х; у) (мал. 7.9).

Синусом кута а називають відношення ординати точки В до довжини радіуса: sin а = .

Косинусом кута а називають відношення абсциси точки В до довжини радіуса: cos а = .

Тангенсом кута а називають відношення ординати точки В до її абсциси: tga = (якщо х ≠ 0).

Котангенсом кута а називають відношення абсциси точки В до її ординати: ctgа = (якщо у ≠ 0).

Зауважимо, що вказані означення не суперечать означенням синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°, раніше введеним у геометрії.

Мал. 7.9

7.10

3. Одиничне коло

Як відомо з курсу геометрії, значення sin a, cos a і tg a, де 0° ≤ a ≤ 180°, залежить лише від градусної міри кута а і не залежить від довжини радіуса R. Тому зручно розглядати коло з радіусом R = 1 і центром у початку координат (мал. 7.10). Таке коло називають одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ переходить у радіус ОР_а, де точка Р_а має координати (х; у) (мал. 7.10). Кажуть, що куту а відповідає точка Р_а одиничного кола. Тоді

синусом кута а називають ординату точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у;

косинусом кута а називають абсцису точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто cos а - х;

тангенсом кута а називають відношення ординати точки Р_а(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто tga = (якщо х ≠ 0);

котангенсом кута а називають відношення абсциси точки Р_а(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто ctga = (якщо у ≠ 0).

Означення тангенса можна сформулювати й так:

тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса.

Справді, оскільки у = sin a, a, х = cos а, то де cos а ≠ 0. Аналогічно:

котангенсом кута а називають відношення косинуса цього кута до його синуса.

Справді, де sin а ≠ 0.

Вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого значення а. Вираз tga має зміст, коли х ≠ 0, тобто коли а ≠ ±90°, ±270°, ±450°, … , оскільки для цих кутів абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю. Вираз ctga має зміст, коли у ≠ 0, тобто коли а Ф 0°, ±180°, ±360°, … , оскільки для цих кутів ордината відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю.

Отже, кожному допустимому значенню кута а відповідає єдине значення sin a, cos a, tga, ctga. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута а. їх називають тригонометричними функціями кута.

4. Тригонометричні значення деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів 0°, 90°, 180°, 270°, 360° за означенням.

На одиничному колі (мал. 7.11) позначимо точки Р_а для а = 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Матимемо:

Р_0°(1; 0), тому sin0° = 0; cos0° = 1; tg0° = 0; ctg0° - не існує.

Р_90°(0; 1), тому sin 90° = 1; cos 90° = 0; tg90° - не існує; ctg90° = 0.

Р_180°(-1; 0), тому sin180° = 0; cos 180° = -1; tg 180° = 0; ctg180° - не існує.

Р_270°(0;-1), тому sin270° = -1;

cos_270° = 0; tg270° - не існує; ctg270° = 0.

Точка Р₃₆₀° має такі самі координати, як і точка Р₀°, тому sin 360° = sin 0° = 0; cos 360° = cos0° = 1; tg360° = tg0° = 0;

ctg360° - не існує.

Мал. 7.11

Подамо отримані значення у вигляді таблиці, доповнивши її значеннями синуса, косинуса і тангенса гострих і тупих кутів, відомих нам з курсу геометрії. Невідомі значення тангенса і котангенса для цієї таблиці обчислимо відповідно за формулами