математика МПТУ

четвер, 1 вересня 2022 р.

01.09.2022 Групи №2 і №14

Алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Поняття первісної. Основна властивість первісної.

1. Передивіться відеоурок за посиланням:

https://www.youtube.com/watch?v=74ILw9ifAuY

2.Законспектуйте в зошиті

Функцію F (х) називають первісною для функції f (х) на заданому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку F'(х) = f(х).

Функція F(х) = х2 є первісною для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (х²)' = 2х = f(x).

Основна властивість первісної

Якщо F(x)— первісна для функції f(х) на заданому проміжку, то функція f(х) має безліч первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + С, де С — довільна стала.

Функції F (х) = х² + С є первісними для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (x2 + С)' = 2c = f(х).

Правила обчислений первісних

1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F(x) — первісна для f(х), a G (х) — первісна для g (х), то F (х) + G (х) — первісна для функції f(x) + g(x).

2. Сталий множник можна ви носити за знак первісної, тобто якщо F (x) — первісна для функції f(х) і С — стала, то CF(x) — первісна для Cf (х).

3. Якщо F(x) — первісна для f(х) і k ≠ 0, b — стала, то F(kх + b) — первісна для функції f(kх + b).Розглянемо приклади.

3.Розгляньте приклади

Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(x) = x + cosx.

Розв’язання

Оскільки для х одна з первісних є , а для cos х однією з первісних є sin х, то однією з первісних для функції х + cos х є функція + sin х, отже F(x) = + sinx + С.

Відповідь: F(x) = + sinx + С.

Приклад 2. Знайдіть первісні для функції f(х) = 5е^x + 7sin х - 3х².

Розв’язання

Оскільки однією з первісних для функції е^х є функція е^х, то однією з первісних для функції 5 е^х є 5e^х; оскільки однією з первісних для функції sin х є -cos х, то однією з первісних для функції 7sin х є -7cos х; первісною для функції 3х² є 3 ∙ = х³. Отже, F(x) = 5е^х - 7cos х - х³ + С — первісні для функції f(х) = 5е^x + 7sin х - 3 х².