05.09.2022      група №4     алгебра і початки аналізу (повторення)

Тема уроку: Функції,  їхні властивості та графіки

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=NbY9Tc47eC8

2. Повторіть і законспектуйте

Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини відповідає єдине значення змінної у, то таку залежність називають функціональною залежністю, або функцією. При цьому змінну х називають незалежною змінною або аргументом, змінну у - залежною змінною або функцією від аргументу.

Найчастіше функції задають формулами, наприклад,

 тощо.

Приклад. Функцію задано формулою y = 10/(x + 2) . Знайти:

1) значення функції, що відповідає аргументу, що дорівнює -4;

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 2.

Розв’язання. 1) За умовою х = -4, тоді маємо y = 10/( -4 + 2) ; y = -5.

2) Щоб знайти х, при якому у = 2, розв’яжемо рівняння 2 = 10/(x + 2) ; х + 2 = 5; х = 3. Отже, значення у = 2 функція набуває при х = 3.

Усі значення, які може набувати незалежна змінна (аргумент) утворюють область визначення функції. Область визначення функції ще називають областю допустимих значень функції. Область визначення функції позначають D(у). Приклад. Знайдіть область визначення функції:

Розв’язання. 1) Областю визначення функції є всі значення х, при яких має зміст дріб 4/(x - 3).

Знайдемо ті значення х, при яких знаменник дробу дорівнює нулю: х - 3 = 0, х = 3. Отже, областю визначення функції є всі числі крім 3. Коротко це можна записати так: х ≠ 3.

2) Область визначення функції - всі значення х, при яких має зміст вираз . Тому область визначення знаходимо з умови х + 2 ≥ 0, тобто х ≥ -2. Можна записати: 

Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), утворюють область значень функції.

Область значення функції позначають Е(у).

Приклад. Знайдіть область визначення функції: 

Розв’язання. 1) Оскільки |х| ≥ 0, то -|х| ≤ 0, а тому 2 - |х| ≤ 2, тобто y ≤ 2. Отже, проміжок (-∞;2]. Область значень функції, тобто Е(у) = (-∞;2].

2) Оскільки х² ≥ 0 для всіх значень х, то  Тому  а, отже, у ≥ 4. Маємо Е(у) = [4;+∞).

Задавати функцію можна і таблицею (табличний спосіб задання функції). Приклад. Починаючи з восьмої години до тринадцятої години, через одну годину вимірювали атмосферний тиск і дані записували в таблицю:

8	9	10	11	12	13
Атмосферний тиск р, мм рт.ст.	752	753	755	753	752	751

Таблиця задає відповідність між годинами t доби і атмосферним тиском р. Ця відповідність є функцією, бо кожному значенню змінної і відповідає одне значення змінної р. У цьому прикладі t є незалежною змінною, а р — залежною змінною. Область визначення функції утворюють числа: 8, 9, 10, 11, 12, 13 (числа першого ряду таблиці), а область значень 751, 752, 753, 755

Графіком функції називають фігуру, яка складається з усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Надалі будемо розглядати графіки різних функцій: лінійних, квадратних, степеневих тощо.

Крім того графік також може задавати функцію. Такий спосіб задання функції називається графічним.

Приклад. На малюнку 62 функція у = f(х) задана графіком на проміжку [-3;5]. За допомогою графіка знайти:

1) значення функції, якщо х = -1; х = 2;

2) значення аргументу, якому відповідає значення функції у = 4.

Розв’язання.

1) якщо х = -1, то у = 1; якщо х = 2, то у = 5.

2) якщо у = 4, то х = -2 або х = 3.