05.09.2022  група №14   алгебраі початки аналізу

Тема уроку: Правила знаходження первісних.  Таблиця первісних.

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=zYstSbhSBd4

2. Законспектувати в зошит

1) Якщо F - первісна для f, a G - первісна для g, то F + G - первісна 

для f + g.

2) Якщо F - первісна для f, а k - стала, то kF - первісна для kf.

3) Нехай F(x) - первісна для f(х), a k і b - деякі сталі, причому k ≠ 0. 

Тоді 1/k ∙ F(kx + b) - первісна для функції f(kx + b).

Розглянемо приклади використання цих правил.

Приклад 1.

 Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

Розв’язання.

1) Оскільки х⁵ /5 первісна для х⁴, a tg x - первісна для 1/cos² x, то використовуючи правило 1, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:

2) Оскільки е^х - первісна для е^х, то використовуючи правило 2, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції F(х) = 7е^х + С.

Приклад 2. 

Знайдіть загальний вигляд первісних для функції 

Розв’язання. 

Для соsх однією з первісних є sin х. Використовуючи правило 3, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:

Приклад 3.

 Для функції  знайдіть первісну F(x) таку, що F(12) = 3.

Розв’язання. 

Використовуючи правило 3 та той факт, що однією з первісних для функції х⁵ є x⁶ /6 матимемо:

Оскільки F(12) = 3, то матимемо 

Отже,  - шукана первісна.

Для знаходження первісних деяких функцій, корисною є таблиця первісних.

Функція f(x)	Загальний вигляд первісних F(х)+С , де С - довільна стала
0	С
1	х + С
xα , α ≠ -1
1/x	ln|х| + С
sin x	-соsх + С
cos x	sіnх + С
1/cos2 x	tg х + С
1/sin2 x	-сtgx + С
ex	ех + С
ax (a > 0; a ≠ 1)