05.09.2022    група №14   алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Визначений інтеграл, його геометричний зміст

1. Передивіться відеоурок за посиланням

https://www.youtube.com/watch?v=GsJCHSszzDY

2.Законспектуйте в зошиті

Визначеним інтегралом від неперервної на [а;b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею b називають різницею F(b) - F(a), де F(x) - одна з первинних для функції f(x). Позначають визначений інтеграл так f(x)dx.

При обчисленні різниці F(b) - F(а) можна брати будь-яку з первісних функцій f(х), що записуються в загальному вигляді F(x) + С. Але прийнято застосовувати ту первісну для якої С = 0.

За наведеним означенням маємо:

Цю формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Зауважимо, що при обчисленні визначених інтегралів зручно різницю F(b) - F(a) записують так F(x) . Застосовуючи це позначення формулу Ньютона-Лейбніца записують ще й у такому вигляді:

Розглянемо приклади знаходження визначень інтегралів.

Приклад 1.

 Обчисліть інтеграл sіnхdх.

Розв’язання. Для функції f(х) = sin х однією з первісних є F(х) = -cos х. Маємо за формулою Ньютона-Лейбніца

Приклад 2.

 Обчисліть інтеграл 

Розв’язання. Спочатку знайдемо первісну для функції f(х) = 2х + 3х² + 1. Використовуючи правила обчислення первісних та таблицю первісних, маємо:

Матимемо

Зауважимо, що при оформленні цього прикладу знаходження первісної можна було не записувати окремо. Тоді оформлення набуде наступного вигляду:

Приклад 3. Обчисліть інтеграл 

Розв’язання. Використаємо правило 3 знаходження первісних. Маємо

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

1. dx = Cdx, де С — стала.

 +g(x))dx = dx + (x)dx.

3. dx = -dx.

4.  =  .

5. dx = 0.

6. dx - dx + dx

Приклад 1.

 Обчисліть .

Розв'язання

Оскільки для х² однією з первісних є  , то  =  =  -  =  +  = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 2.

 Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: -.

Приклад 3.

 Обчисліть:

a) ;

б) .

Розв’язання