01.12.2022    група  №7   факультатив 

Тема уроку:  Графіки та основні властивості гіперболи

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=_rYHTrUlUxw

2.  Законспектуйте та вивчіть

Ми розглянули функцію y=kx для випадку, коли k=1. Нехай тепер k — додатне число, відмінне від 1, наприклад k=2.

Розглянемо функцію y=2x та складемо таблицю значень цієї функції:

 

x	1	2	−1	−2	4	12	−4	−12
y	2	1	−2	−1	12	4	−12	−4

 

Побудуємо ці точки на координатній площині. Вони намічають деяку лінію, що складається з двох гілок. Проведемо її.

 

 

Як і графік функції y=1x, ця лінія називається гіперболою.

Тепер розглянемо випадок, коли k<0; нехай, наприклад, k=−1.

 

Побудуємо графік функції y=1x (тут k=−1).

 

Графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x.

 

Зокрема, це означає, що графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x. 

 

Отже, графік функції y=−1x симетричний графіку y=1x відносно осі абсцис.

 

У такий спосіб ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.

 

 

Взагалі, графіком функції y=kx, k≠0 є гіпербола, гілки якої розташовані в першому і третьому координатних кутах, якщо k>0, і в другому та четвертому координатних кутах, якщо k<0.

Точка (0;0) — центр симетрії гіперболи, осі координат — асимптоти гіперболи.

Зазвичай кажуть, що дві величини x і y обернено пропорційні, якщо вони пов'язані співвідношенням xy=k (де k — число, відмінне від 0) або, що те ж саме, y=kx.

З цієї причини функцію y=kx називають іноді оберненою пропорційністю (за аналогією з функцією y=kx, яку називають прямою пропорційністю).

 

Число k — коефіцієнт оберненої пропорційності.

Властивості функції y=kx, якщо k>0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

 

 

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім x=0.

 

2. y>0, якщо x>0; y<0, якщо x<0.

 

3. Функція спадає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).

 

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

 

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.

 

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів (−∞;0)∪(0;+∞).

Властивості функції y=kx, якщо k<0

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

 

 

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім x=0.

 

2. y>0, якщо x<0; y<0, якщо x>0.

 

3. Функція зростає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).

 

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.

 

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів (−∞;0)∪(0;+∞).