01.12.2022      група  №7   факультатив

Тема уроку: Графіки та основні властивості параболи, кубічної параболи

1. Передивіться відеоуроки

https://www.youtube.com/watch?v=_-uLamxecnQ

https://www.youtube.com/watch?v=IkkSvWNcDy4

2. Законспектуйте і вивчіть

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.

1. Координати вершини параболи :

xв= ; yв=  або yв= y(xв).

Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.

2. Точки перетину параболи з осями коор­динат є такими:

Абсциса точки перетину параболи з віс­сю Oy дорівнює 0, тоді , .

Ордината точок перетину параболи з віс­сю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння    .

Якщо це рівняння має два різних корені  і , графік перетинає вісь Ox у точках , .

Якщо це рівняння має один корінь (тобто ), то цей корінь .

Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати .

Якщо це рівняння не має коренів , парабола не перетинає вісь Ox.

3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.

Якщо , вітки параболи напрямлені вгору.

Якщо , вітки параболи напрямлені вниз.

4. Парабола є симетричною відносно прямої .

На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках.

1)  ; ;

; ;

; xв.

2)  ; ;

x1 = x2 = xв=

= ;

.

3) ; ;

    xв> 0; .

4)  ; ;

;

, ;

    xв= .

5)  ; ;

;

x1= x2= xв= <0.

6)  ; ;

;

    xв= .

Приклад

Побудувати графік функції .  — вітки параболи напрямлені вниз.

xв= ; xв= ;

yв= , yв= .

Вершина: (3; 1).

Точка перетину з віссю Oу:

; (0; –8).

Точки перетину з віссю Ox:

  ; ;

  ; , .

  (2; 0); (4; 0).

На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.

1. .

2. ;  — множина значень функції, тобто множина всіх значень y.

3.  при  і при .

4. Точки перетину графіка з осями коор­динат.

    (0; -8); (2; 0); (4; 0).

5.  при ;  при .

6. Функція зростає при , функція спадає при .

7. Найбільше значення функції — , найменшого значення функції немає.

8. Графік функції — парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі , вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої .

Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Кубічна парабола – це парабола, що задається рівнянням виду y = ax3,

 де a ≠ 0. 

Властивості функції кубічної параболи

Графік кубічної параболи визначений на всьому просторі дійсних чисел.

Функція, що задається графіком кубічної параболи, є непарної, тобто: f (-x) = (- x)3 = -x3 = f (x).

З цього випливає, що зворотна функція кубічної параболи, задана рівнянням y = -x3 розташовуватиметься II і IV чвертях графіка, тоді як для y = x3 графік розташовується в I і III чвертях.