11.11.2022   група   №7 алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Границя функції в точці

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=TUGghfleJUE

2. Законспектуйте і вивчіть

Означення границі функції в точці та функції, неперервної в точці

Розглянемо функцію f(х) = х + 1 і точку х₀ = 1. Якщо значення аргументу х прямують до числа 1 (позначають: х  1), то відповідні значення функції f прямують до числа 2 (позначають: f(х)  2) (рис. 34.1).

Іншими словами: якщо значення аргументу брати все ближче й ближче до числа 1, то відповідні значення функції f усе менше й менше відрізнятимуться від числа 2.

У цьому разі говорять, що число 2 є границею функції f у точці 1, і записують:

або

Означення похідної функції в точці.

Похідною функції у = f(х) в точці х₀ називають границю відношення приросту функції ∆f(x ₀) в точці х₀ до приросту аргументу ∆х, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

Функцію у = f(х), що має похідну в точці х₀ називають диференційованою в цій точці. Якщо функція у = f(х) має прохідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що ця функція диференційована на даному проміжку. Операцію взяття (знаходження) похідної називають диференціюванням функції.

У курсі шкільної математики похідні знаходять в основному, не за означенням, а використовуючи таблицю похідних та правила знаходження похідних.

Таблиця похідних елементарних функцій.

Приклад 1. Знайдіть похідні функцій:

Розв’язання.

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій: 

Розв’язання. Спочатку кожну з функцій треба звести до виду х^р, а потім обчислювати похідну

Приклад 3. Знайдіть похідну функції 

Розв’язання. Спростивши функцію отримаємо  Тому 

3. Виконайте тест

Запитання 1

Знайти похідну функції у= 2х²-1

варіанти відповідей

 

у′=2х-1

 

 

у′=2х²

 

 

у′=4х-1

 

 

у′=4х

Запитання 2

Знайти похідну функції у=х²+х

варіанти відповідей

 

у′=2х+х

 

 

у′=2х+1

 

 

у′=2х

 

 

у′=2х²

Запитання 3

Знайти похідну функції f(х)=sinx +cosx

варіанти відповідей

 

f′(х)=sinx - cosx

 

 

f′(х)=cosx +sinx

 

 

f′(х)=cosx - sinx

 

 

f′(х)= - cosx

Запитання 4

Знайти значення похідної функці у = 1- х² в точці х0=1

варіанти відповідей

 

2

 

 

1

 

 

-2

 

 

-1

Запитання 5

Знайти значення похідної функції у= 2sinx в точці х0 = 2π

варіанти відповідей

 

0

 

 

2

 

 

-2

 

 

-1

Запитання 6

Знайти похідну функції f(х)= x⋅sinx

варіанти відповідей

 

f′(х)= sinx - x⋅cosx

 

 

f′(х)= sinx + x⋅cosx

 

 

f′(х)=x⋅sinx - cosx

 

 

f′(х)=x⋅sinx + cosx

Запитання 7

Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = cosx в точці х0=π

варіанти відповідей

 

1

 

 

0

 

 

-1

 

 

інша відповідь

Запитання 8

Знайти тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції у= х3 - х в точці х0 =0

варіанти відповідей

 

-1

 

 

0

 

 

1

 

 

2

Запитання 9

Точка рухається за законом S=2+20t-5t2. Знайти миттєву швидкість точки у момент t=1с. (s - вимірюється в метрах)

варіанти відповідей

 

12 м/с

 

 

30 м/с

 

 

10 м/с

 

 

15 м/с

Запитання 10

Скласти рівняння дотичної до графіка функції у=х3+х2 в точці х0=1

варіанти відповідей

 

у=5х-3

 

 

у=5х-7

 

 

у=3-5х

 

 

у=7-5х