17.11.2022    група № 9  алгебра і початки аналізу

Тема уроку: Показникові нерівності

1.  Перегляньте відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=zGseyNwy6KA

2. Законспектуйте та вивчіть

Нерівності виду a^x ≥ b, a^x > b, a^x ≤ b, a^x < b, де a > 0, a ≠ 1.

Оскільки а^x > 0 для всіх значень х при а > 0, а ≠ 1,

то у випадку b ≤ 0 множиною розв’язків нерівностей а^х ≥ b, а^х > b є множина R, а нерівності а^х ≤ b, а^х < b не будуть мати розв’язків.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівності:

 1) 2^x ≥ -5; 2) 3^x < -1.

Розв’язання. 

2) 3^x < -1, нерівність не має розв’язків.

Розглянемо нерівність а^х ≥ b при а > 0, а ≠ 1, b > 0. Схему розв’язання цієї нерівності подамо у вигляді таблиці.

а^х ≥ b; а > 0, а ≠ 1, b > 0

0 < а < 1	а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний х ≤ loga b	Знак нерівності не змінюється х ≥ loga b

Зауважимо, що нерівності  розв’язуються аналогічними методами. Якщо и = а^с, де с - деяке число, то відповідно матимемо:

для 

для 

Приклад 2. Розв’яжіть нерівності:

Розв’язання.

Аналогічно розв’язуються нерівності у випадку, коли замість x маємо f(x).

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання. 

 (мал. 47).

Нерівності виду a^f(x) ≥ a^g(x), a^f(x) > a^g(x) , де a > 0, a ≠ 1.

Метод розв’язування нерівності а^х ≥ b можна узагальнити для нерівностей виду a^f(x) ≥ a^g(x), a^f(x) > a^g(x) , де a > 0, a ≠ 1. Подамо метод розв’язування нерівності у вигляді таблиці.

a^f(x) ≥ a^g(x)

0 < а < 1	а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний f(х) ≤ g(x)	Знак нерівності не змінюється f(х) ≥ g(x)

Аналогічно розв’язується нерівність виду a^f (x) > a^g (x).

Приклад. Розв’яжіть нерівності: 

Розв’язання.

2) Оскільки 0 < ½ < 1, то маємо  Розв’язавши цю нерівність, маємо х ≤ -1 або х ≥ 4 (мал. 48).

3.  Виконайте тести

Запитання 1

Розв'яжіть нерівність 7х < 1/49

варіанти відповідей

 

(−∞; −2)

 

 

(−2; +∞)

 

 

(−∞; −2]

 

 

[−2; +∞)

 

 

(−∞; 2)

 

 

(2; +∞)

Запитання 2

Розв'яжіть нерівність ( 0,1)х ≥ 0,0001

варіанти відповідей

 

( −∞; 4)

 

 

( −∞; 4]

 

 

( −∞; 3)

 

 

(3; +∞)

 

 

(4; +∞)

 

 

[4; +∞)

Запитання 3

Розв'яжіть нерівність ( π/3)x ≥ (3/π)3

варіанти відповідей

 

[3; +∞)

 

 

[−3; +∞)

 

 

(−∞; 3]

 

 

(−∞; −3]

 

 

немає розв′язку

Запитання 4

Розв'яжіть нерівність (0,3) (х² −8)/ х ≥ 11+1/9

варіанти відповідей

 

( −∞; −4] ∪(0; 2]

 

 

( −∞; −4) ∪(0; 2)

 

 

( −∞; −2] ∪[0; 4]

 

 

( −∞; −2] ∪[ 4; +∞)

 

 

[−4; 2]

 

 

[−2; 0) ∪(0; 4]

Запитання 5

Котра з нерівностей має розв′язок інтервал ( −∞; +∞)

варіанти відповідей

 

2sin x > 1

 

 

2sin x ≥1

 

 

2sin x <1

 

 

2sin x ≥ −1

 

 

2sin x ≤ −1

 

 

2sin x ≤1

Запитання 6

Розв′яжіть нерівність 2х ≥ 3х

варіанти відповідей

 

(−∞; 0]

 

 

(−∞; 0)

 

 

[0; + ∞)

 

 

(0; + ∞)

 

 

немає розв′язку

Запитання 7

Розвязки нерівності (0,5)х²−х−20 > 1 це інтервал

варіанти відповідей

 

( −1/4; 1/5)

 

 

( −1/5; 1/4)

 

 

( −4; 5)

 

 

( −5; 4)

 

 

(4; 5)

Запитання 8

Знайдіть найбільший цілий розв′язок нерівності 2х+1 + 2х < 24

варіанти відповідей

 

3

 

 

−3

 

 

4

 

 

−4

 

 

2

 

 

−2

Запитання 9

Вкажіть найменший розв′язок нерівності ( √2/2)х+2 ≤ √2

варіанти відповідей

 

3

 

 

2

 

 

−2

 

 

−3

 

 

4

 

 

−4

Запитання 10

Скільки цілих розв′язків має нерівність 1≤ (1/3)х ≤ 27 ?

варіанти відповідей

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

6

Запитання 11

Якщо 92х > 3, то х ∈

варіанти відповідей

 

(0,75; +∞)

 

 

(0,5; +∞)

 

 

(0,25; +∞)

 

 

(0; +∞)

 

 

інша відповідь

Запитання 12

Оберіть УСІ показникові нерівності із наведеного переліку

варіанти відповідей

 

х2 > 0

 

 

2x <7

 

 

2/x >4

 

 

πx < 6

 

 

4x = 16

 

 

(sin( π/4))x ≥ cos (π)