10.11.2022 група №7 факультатив
Тема уроку: Рівняння прямої і кола
1. Передивіться відеоуроки з теми за посиланнями:
https://www.youtube.com/watch?v=OfjK-mrcgR0
https://www.youtube.com/watch?v=5ymx2kBePcs
2. Законспектуйте і вивчіть.
Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними х і у, якщо виконуються умови:
1) координати будь-якої точки задовольняють рівняння;
2) будь-яка пара чисел виразу (х; у), що задовольняє це рівняння, є координатами деякої точки фігури.
Так, наприклад, з курсу алгебри знайомо, що у = 6/х рівняння гіперболи, а у = х2 - 4 - рівняння параболи.
Рівняння кола.
Рівняння кола з центром у точці Q(а; b) радіусом r має вигляд (мал. 299)
Зокрема, рівняння кола радіуса r з центром у початку координат має вигляд х2 + у2 = r2.
Приклад 1. Визначте центр та радіус кола, заданого рівнянням (x + 3)2 + (у - 2)2 = 36.
Розв’язання. Маємо (х - (- 3))2 + (у - 2)2 = 62. Отже, центром кола є точка Q(-3; 2), а радіус кола r = 6.
Приклад 2. Довести, що рівняння х2 + у2 - 6х + 4у - 12 = 0 є рівнянням кола. Знайдіть координати центра кола та його радіус.
Розв’язання. Виділимо квадрати лінійних двочленів змінних х і у:
Отже, задане рівняння є рівняння кола з центром у точці Q(3; -2) і радіус r = 5.
Приклад 3. Складіть рівняння кола з діаметром АВ, якщо А(-6; 8), В(4; 12).
Розв’язання.
1) Нехай точка Q - центр кола. Тоді Q - середина АВ. Маємо:
Отже, Q(-1; 10).
2) Радіусом кола буде відрізок 
Отже, r =
.
3) Рівняння шуканого кола таке:
Рівняння прямої.
З курсу алгебри нам відомо, що пряма є графіком лінійної функції у = kх + b та графіком лінійного рівняння з двома змінними ах + bу = с. Розглянемо рівняння прямої у геометрії.
Рівняння прямої в прямокутній системі координат має вигляд
ах + bу + с = 0,
де а, b, с - числа, причому а і b одночасно не дорівнюють нулю.
Рівняння ах + bу + с = 0 називають ще загальним рівнянням прямої.
Приклад 1. Знайдіть точки перетину прямої 2х - 7у - 14 = 0 з осями координат.
Розв’язання. 1) Нехай точка А(х; 0) - точка перетину прямої з віссю абсцис. Тоді 2х – 7 ∙ 0 - 14 = 0; x = 7. Отже, А(7; 0) – точка перетину прямої з віссю абсцис.
2) Нехай В(0; у) - точка перетину прямої з віссю ординат. Тоді 3 ∙ 0 — 7y — 14 = 0; у = -2. Отже, В(0; -2) - точка перетину прямої з віссю ординат.
Рівняння прямої, що проходить через точки А(х 1;у 1) і В(х2;у2), має вигляд
х = m, якщо х 1 = х2 = m;
у = n, якщо у 1 = у2 = n;
Приклад 2. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки А(3; -4) і B(2; -1).
Розв’язання. Маємо 
3х + у - 5 = 0 - шукане рівняння прямої.
Зауважимо, що правильність складеного рівняння легко перевірити, підставивши по черзі координати обох точок.
Якщо у загальному рівнянні прямої ах + bу + с = 0 коефіцієнт b відмінний від нуля, то можна виразити у через х:
Позначивши -a/b = k, -с/b = l, отримаємо у = kх + l.
Коефіцієнт k у рівнянні прямої у = kх + l дорівнює тангенсу кута, який утворює ця пряма з додатнім параметром осі х.
Коефіцієнт к у рівнянні у = kх + l називають кутовим коефіцієнтом. Якщо к > 0, то пряма утворює гострий кут з додатнім напрямом осі х, а якщо к < 0 - то тупий.
Звідки отримаємо важливу умову паралельності прямих:
прямі, що задані рівнянням у = k 1х + l 1 і у = k 2х + l 2, паралельні тоді і тільки тоді, коли k 1 = k 2.
Приклад 3. Чи паралельні прямі 2х - 3у + 7 = 0 і 4х - 6у - 9 = 0?
Розв’язання. З рівняння 2х - 3у + 7 = 0 маємо 3у = 2х +7; у = 2/3х + 7/3. З рівняння 4х - 6у - 9 = 0 маємо 6у = 4х - 9; у = 2/3х - 1,5. Обидва рівняння мають однаковий кутовий коефіцієнт, тому прямі паралельні.
Рівняння прямої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку А(х0; у0), має вигляд у – у 0 = k(х - х0).
Приклад 4. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку А(-2; 1) і утворює з додатнім напрямом осі абсцис кут 135°.
Розв’язання. 1) k = tg α; k = tg 135° = -1.
2) Маємо рівняння у - 1 = -1(х - (-2)); у - 1 = -х - 2; х + у + 1 = 0 - шукане рівняння.
Для того, щоб знайти координати точок перетину прямих а 1х + b 1у + с1 = 0 і а2х + b 2у + с2 = 0 необхідно розв’язати систему, рівняннями якої є рівняння, які задають дані прямі.
Приклад 5. Знайдіть точку перетину прямих 4х – y - 7 = 0 і 2x + 5y - 9 = 0.
Розв’язання. Розв’язуючи систему 
дістанемо х = 2; у = 1.
Отже, (2; 1) - точка перетину прямих.
3. Розв'яжіть задачі
Коло задано рівнянням (х-2)²+(у+4)²=16. Знайти координати центра кола та радіус.
Коло задано рівнянням (х-1)²+у²=16. Які з точок належить цьому колу?
Точка О - центр кола, А - точка кола. Знайти довжину радіуса ОА, якщо О (0; 4), А (5; 16).
Обчислити довжину кола,заданого рівнянням (х-20)2+у2=16
Яке з рівнянь х²+у²=25; 2х-3у+7=0; х+у²=0; х³-2у-13=0 є рівнянням прямої?
Яка з точок М (-3; 4); Т (5; 1); К (2; 5);С (0; 8) належить прямій х+у-7=0?
Серед прямих у=7х+5; у-7х+6=0; у+5х-7+0; у=5х-7; у=6х-7 вибрати пару паралельних прямих
У рівнянні прямої у=кх+в знайти к та в, якщо пряма проходить через точки А (1; 5); В (2; 6)
У рівнянні прямої у-вх+с=0 знайти значення в та с, якщо пряма проходить через точки М (1; 5) і Р (2; 6)
Визначте центр кола, якщо воно задано рівнянням х²+4х+у²-6у-7=0
З'ясувати взаємне розміщення кіл заданих рівняннями (х-2)²+у²=16 і
(х+2)²+(у-3)²=9
Знайти довжину кола, центр його у точці О (3; 2), яке дотикається до осі ОХ
Немає коментарів:
Дописати коментар