24.11.2022   група  №7            геометрія

Тема уроку: Дії над векторами. Розкладання вектора на складові

1. Передивіться відеоурок

https://www.youtube.com/watch?v=c_0Qge2xjqE

2. Законспектуйте в зошиті та вивчіть

Сума векторів

У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO₁), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB₁), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).

Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.

Рис. 2

Сума векторів у просторі

 (а₁; а_2;a₃) +  (b₁; b₂; b₃) =  (а₁ + b₁; а₂ + b₂; a₃ + b₃).

Різниця векторів у просторі  (а₁; а₂; а₃) -  (b₁; b₂; b₃) =

  (а₁ - b₁; а₂- b₂; a₃ - b₃).

Множення вектори чи число в просторі

 ∙  (а₁; а₂; а₃) =  (а₁; а₂; а₃).

Задача 1. Задано вектори  (3; -2; -1);  (1; 1; 2);  (-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів  =  + ,  =  - ,  = 2 + 3 - .

Розв’язання

 =  +  =  = ;  =  =  =  = ;

 = 2 + 3 -  = 2 ∙  + 3 -  =

 = .

Відповідь:  = ;  = ;  = 

Колінеарність векторів у просторі

Якщо є вектори  (а₁; a₂; а₃),  (b₁, b₂; b₃) і вони колінеарні, то  =  = 

Якщо є вектори  (а₁; а₂; а₃),  (b₁; b₂; b₃) і  =  = , то  і  — колінеарні вектори.

Задача 2. Знайдіть значення m і n, при яких вектори  (3; m; 5) і  (- 6; - 2; n) колінеарні.

Розв’язання

У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси

  =  = .

Маємо два рівняння:

1)  = , тоді m =  = 1;

2)  = , тоді n =  = -10.

Відповідь: m = 1, n = -10.

Скалярний добуток двох векторів у просторі

Якщо є вектори 

 (a₁; а₂; a₃),  (b₁; b₂; b₃),           то  ∙  = a₁b₁+ a₂b₂ + a₃b₃.

Теорема

Скалярний добуток двох векторів  і  дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).

Отже,  ∙  = || ∙ || ∙ cos.

Задача 3. Знайдіть кут між векторами  (1; 2; - 3) і  (2; -1; - 4).

Розв'язання

Скористаємося формулою cos =  =  ∙  = 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.

||= , ||=  = ,

тоді cos =  =  =  = .

Звідси  = arcos .

Відповідь: arcos .

Рис. 3

Ознака перпендикулярності векторів

Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Задача 4. При якому значенні р вектори

 (3; р: -1) і  (р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

 ∙  = 3 ∙ p + p ∙ (-2) + (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5,  ∙  = 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.

Відповідь: р = 5.

Рис. 4

Розглянемо розв’язання деяких задач.

Задача 5. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

Розв’язання

Оскільки  (- 6; 14; 2),  (- 2; - 6; 0), то  =  + ,  (- 8; 8; 2) (див. рисунок).

Рис. 5

Тоді || =  =  = 2.

Відповідь: 2.

Задача 6. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABC, якщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).

Розв’язання

Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту  між векторами  та  (див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° - . Знайдемо координати точки М:

M (; ; ) = M(0; -1; 1).

Тоді  (-4; 0; -3),  (-3; -4; 0);

cos =  =  == .

 = arcos  - гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arcos 

Відповідь: arcos .

Рис. 6

Задача 7. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах  (3; 0; -4) і  (0; 5; 0).

Розв’язання

Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах  і  (див. рисунок).

Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: 5 = || ∙ || sin (див. рисунок).

|| =  = 5; || =  = 5; cos =  =  = 0.

Оскільки cos  = 0, то  = 90°. Тоді sin  = 1 і S = 5 ∙ 5 ∙ 1 = 25.

Відповідь: 25.

Рис. 7